Chuck-a-luck

[green_fr]

Читаю книжку про разработку игр (в последнем лагере дети придумали примитивную ролевую игру, мне захотелось предложить им что-то поинтереснее, начал читать литературу по теме), наткнулся на красивый парадокс. Практически оптическая иллюзия, только из мира вероятности. Когда ты уверен, что знаешь правильный ответ, ан нет, ошибся.

Итак, рассмотрим следующую игру: задумываем число от 1 до 6, бросаем три кубика, казино платит по доллару за каждый кубик, на котором выпало наше число. Если не выпало — мы платим 1 доллар. Сбалансирована ли игра?

Не будем про самый очевидный (и правильный) вариант ответа: раз казино предлагает эту игру, значит она не сбалансирована, причём перекос должен быть именно в сторону казино.

Есть неправильный расчёт «на пальцах»: у нас 3 кубика, у каждого вероятность выигрыша в 1/6, значит в среднем выходит 1/2 — игра сбалансирована. Кажется, что этот ответ неправильный, потому что мы забыли какие-нибудь сложные вероятности или ещё что-то.

Но нет, строгий подсчёт вероятностей даёт тот же результат:

• у нас всего есть 216 вариантов выброса кубиков (предполагаем, что кубики упорядоченные, то есть комбинация 1-2-3 отличается от комбинации 1-3-2)
• у нас есть 75 вариантов с одной единицей (для простоты положим, что мы изначально поставили на единицу — выбор цифры, очевидно, не меняет выкладок) = 3 кубика, где она может выпасть × 5 вариантов для второго кубика × 5 вариантов для третьего
• у нас есть 15 вариантов с двумя единицами = 3 кубика, где не выпала единица × 5 вариантов для этого кубика
• у нас есть один вариант с тремя единицами
• итого средний выигрыш = 75 × 1 + 15 × 2 + 1 × 3 = 108, то есть как раз половина от 216

Но я уже дал правильный ответ — игра не сбалансирована. Где же ошибка?

Comments

[bogdanovandrey.livejournal.com]

Что-то я не понял в чем тут парадокс. Средний выигрыш 108 долларов на 216 бросаний кубика. То есть казино зарабатывает 108 долларов.

[green-fr.livejournal.com]

Я неправильно сформулировал: если мы выиграли, то выиграли, сколько написано, а если не выиграли - только в этом случае мы платим доллар.

[sasmok.livejournal.com]

проблема в стоимости игры. для того, чтобы она была сбалансирована, казино должно платить 2 доллара за выпавший кубик.

[green-fr.livejournal.com]

Я неправильно сформулировал: если мы выиграли, то выиграли, сколько написано, а если не выиграли - только в этом случае мы платим доллар.

[sergei maltsev (from livejournal.com)]

Если платить по 2, то станет несбалансированной в сторону игрока. Для баланса нужно брать 1 доллар за бросок в любом случае, и платить по 2 за выпавшее число на любом из кубиков.

[green-fr.livejournal.com]

Несомненно. Но вопрос стоял не "какую другую сбалансированную игру вы знаете?", а "почему эти выкладки, якобы показывающие сбалансированность игры, неправильны?" ;-)

[sergei maltsev (from livejournal.com)]

Теория вероятности бывает идет в разрез с логикой. Тот же парадокс коробок Бертрана. Простой, но весьма забавный пример.

А вот если немножко изменить условие:
Есть три коробки:
Первая содержит две золотых монеты, вторая содержит две серебряные монеты, третья содержит одну золотую и одну серебряную монету.
После выбора случайной коробки и случайной монеты из нее, выбранная монета оказалась золотой.
Какова вероятность того, что вторая монета в выбранной коробке серебряная?

По логике 1/2...., но есть нюанс =)

[green-fr.livejournal.com]

Не, это известная история, чаще встречается в варианте "в семье два ребёнка, один из низ мальчик, какова вероятность, что и второй мальчик?"
Сначала да, кажется, что 1/2, но посчитав, понимаешь, что 2/3.

А ты мою игру понял?

[(Anonymous)]

Может все-таки 1/3, а не 2/3?

[green-fr.livejournal.com]

Да, конечно! Что-то я сегодня рассеяный :-)

[(Anonymous)]

это я (Пашка) был если что '-)

[http://users.livejournal.com/_not_me/]

забавно, с исходной задачей все сразу было понятно: я начал с того что посчитал (5/6)^3, а остальное было делом техники, а про детей, пока все четыре сценария не выписал, 1/3 не увидел :). Красивая история.

[bogdanovandrey.livejournal.com]

Ну с исправленной формулировкой ответ такой - за 216 игр мы выигрываем 108 долларов и проигрываем 115. Так как именно в 115 играх не выпало ни одной единицы.

[green-fr.livejournal.com]

Именно! И вот этого лично я не увидел.
Мне больше нравится другой вариант объяснения - этот "на пальцах", а меня переклинило именно потому, что, казалось бы, универсальный метод подсчёта вероятностей дал сбой. Игру можно переформулировать в других терминах: мы всегда платим по 1 доллару, а получаем в ответ количество единиц + 1, если количество единиц больше нуля. Тогда честная стоимость игры 75*2+15*3+1*4=199, что явно меньше 216 - запрашиваемой цены.

[bogdanovandrey.livejournal.com]

Ну так эта странность с условиями игры и является причиной заблуждения. Привычный вариант для игр такой - платишь деньги за участие в игре а потом либо выигрываешь, либо нет. При таком подходе (и плате в 0.5 доллара за участие) игра становится честной. А "хитроумный трюк" с оплатой только в случае проигрыша и приводит к "парадоксу".

[green-fr.livejournal.com]

Да-да, именно, хорошая формулировка!

[sergei maltsev (from livejournal.com)]

а может количество благоприятных исходов все-таки 1+15+75=91 (из 216)?
ведь если посчитать количество неблагоприятных исходов по получиться (5/6)^3 = 125/216

[green-fr.livejournal.com]

Количество благоприятных - конечно 91, я считал суммарный выигрыш, а он 108. Но да, именно на этой разнице всё и завязано - ты платишь да большее количество проигрышей, чем 108, а выигрываешь всего 108.

[bogdanovandrey.livejournal.com]

Точно, 91. С арифметикой у меня всегда плохо было я те же 75+15+1 просуммировал и получил 101 :). Как следствие, насчитал 115 проигранных долларов. Но, конечно же, там их 125. Что только усугубляет положение игрока.

[green-fr.livejournal.com]

Авотр пишет, что это едва ли не самая проигрышная для посетителя игра в казино (-7%), удачно замаскированная под сбалансированную.

[birdwatcher.livejournal.com]

Трюк основан на том, что число (5/6)^3 (вероятность проиграть) так близко к половине, что пока читаешь, не замечаешь разницу!

[green-fr.livejournal.com]

[вот сколько раз себе говорил перечитывать условия перед отправлением! а тут отвлёкся на звонок, отправил...]