green_fr | Chuck-a-luck

Читаю книжку про разработку игр (в последнем лагере дети придумали примитивную ролевую игру, мне захотелось предложить им что-то поинтереснее, начал читать литературу по теме), наткнулся на красивый парадокс. Практически оптическая иллюзия, только из мира вероятности. Когда ты уверен, что знаешь правильный ответ, ан нет, ошибся.

Итак, рассмотрим следующую игру: задумываем число от 1 до 6, бросаем три кубика, казино платит по доллару за каждый кубик, на котором выпало наше число. Если не выпало — мы платим 1 доллар. Сбалансирована ли игра?

Не будем про самый очевидный (и правильный) вариант ответа: раз казино предлагает эту игру, значит она не сбалансирована, причём перекос должен быть именно в сторону казино.

Есть неправильный расчёт «на пальцах»: у нас 3 кубика, у каждого вероятность выигрыша в 1/6, значит в среднем выходит 1/2 — игра сбалансирована. Кажется, что этот ответ неправильный, потому что мы забыли какие-нибудь сложные вероятности или ещё что-то.

Но нет, строгий подсчёт вероятностей даёт тот же результат:

у нас всего есть 216 вариантов выброса кубиков (предполагаем, что кубики упорядоченные, то есть комбинация 1-2-3 отличается от комбинации 1-3-2)
у нас есть 75 вариантов с одной единицей (для простоты положим, что мы изначально поставили на единицу — выбор цифры, очевидно, не меняет выкладок) = 3 кубика, где она может выпасть × 5 вариантов для второго кубика × 5 вариантов для третьего
у нас есть 15 вариантов с двумя единицами = 3 кубика, где не выпала единица × 5 вариантов для этого кубика
у нас есть один вариант с тремя единицами
итого средний выигрыш = 75 × 1 + 15 × 2 + 1 × 3 = 108, то есть как раз половина от 216

Но я уже дал правильный ответ — игра не сбалансирована. Где же ошибка?