Chuck-a-luck

[green_fr]

Читаю книжку про разработку игр (в последнем лагере дети придумали примитивную ролевую игру, мне захотелось предложить им что-то поинтереснее, начал читать литературу по теме), наткнулся на красивый парадокс. Практически оптическая иллюзия, только из мира вероятности. Когда ты уверен, что знаешь правильный ответ, ан нет, ошибся.

Итак, рассмотрим следующую игру: задумываем число от 1 до 6, бросаем три кубика, казино платит по доллару за каждый кубик, на котором выпало наше число. Если не выпало — мы платим 1 доллар. Сбалансирована ли игра?

Не будем про самый очевидный (и правильный) вариант ответа: раз казино предлагает эту игру, значит она не сбалансирована, причём перекос должен быть именно в сторону казино.

Есть неправильный расчёт «на пальцах»: у нас 3 кубика, у каждого вероятность выигрыша в 1/6, значит в среднем выходит 1/2 — игра сбалансирована. Кажется, что этот ответ неправильный, потому что мы забыли какие-нибудь сложные вероятности или ещё что-то.

Но нет, строгий подсчёт вероятностей даёт тот же результат:

• у нас всего есть 216 вариантов выброса кубиков (предполагаем, что кубики упорядоченные, то есть комбинация 1-2-3 отличается от комбинации 1-3-2)
• у нас есть 75 вариантов с одной единицей (для простоты положим, что мы изначально поставили на единицу — выбор цифры, очевидно, не меняет выкладок) = 3 кубика, где она может выпасть × 5 вариантов для второго кубика × 5 вариантов для третьего
• у нас есть 15 вариантов с двумя единицами = 3 кубика, где не выпала единица × 5 вариантов для этого кубика
• у нас есть один вариант с тремя единицами
• итого средний выигрыш = 75 × 1 + 15 × 2 + 1 × 3 = 108, то есть как раз половина от 216

Но я уже дал правильный ответ — игра не сбалансирована. Где же ошибка?

Comments

[bogdanovandrey.livejournal.com]

Что-то я не понял в чем тут парадокс. Средний выигрыш 108 долларов на 216 бросаний кубика. То есть казино зарабатывает 108 долларов.

[sasmok.livejournal.com]

проблема в стоимости игры. для того, чтобы она была сбалансирована, казино должно платить 2 доллара за выпавший кубик.

[sergei maltsev (from livejournal.com)]

Теория вероятности бывает идет в разрез с логикой. Тот же парадокс коробок Бертрана. Простой, но весьма забавный пример.

А вот если немножко изменить условие:
Есть три коробки:
Первая содержит две золотых монеты, вторая содержит две серебряные монеты, третья содержит одну золотую и одну серебряную монету.
После выбора случайной коробки и случайной монеты из нее, выбранная монета оказалась золотой.
Какова вероятность того, что вторая монета в выбранной коробке серебряная?

По логике 1/2...., но есть нюанс =)

[bogdanovandrey.livejournal.com]

Ну с исправленной формулировкой ответ такой - за 216 игр мы выигрываем 108 долларов и проигрываем 115. Так как именно в 115 играх не выпало ни одной единицы.