![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Chuck-a-luck
Читаю книжку про разработку игр (в последнем лагере дети придумали примитивную ролевую игру, мне захотелось предложить им что-то поинтереснее, начал читать литературу по теме), наткнулся на красивый парадокс. Практически оптическая иллюзия, только из мира вероятности. Когда ты уверен, что знаешь правильный ответ, ан нет, ошибся.
Итак, рассмотрим следующую игру: задумываем число от 1 до 6, бросаем три кубика, казино платит по доллару за каждый кубик, на котором выпало наше число. Если не выпало — мы платим 1 доллар. Сбалансирована ли игра?
Не будем про самый очевидный (и правильный) вариант ответа: раз казино предлагает эту игру, значит она не сбалансирована, причём перекос должен быть именно в сторону казино.
Есть неправильный расчёт «на пальцах»: у нас 3 кубика, у каждого вероятность выигрыша в 1/6, значит в среднем выходит 1/2 — игра сбалансирована. Кажется, что этот ответ неправильный, потому что мы забыли какие-нибудь сложные вероятности или ещё что-то.
Но нет, строгий подсчёт вероятностей даёт тот же результат:
Итак, рассмотрим следующую игру: задумываем число от 1 до 6, бросаем три кубика, казино платит по доллару за каждый кубик, на котором выпало наше число. Если не выпало — мы платим 1 доллар. Сбалансирована ли игра?
Не будем про самый очевидный (и правильный) вариант ответа: раз казино предлагает эту игру, значит она не сбалансирована, причём перекос должен быть именно в сторону казино.
Есть неправильный расчёт «на пальцах»: у нас 3 кубика, у каждого вероятность выигрыша в 1/6, значит в среднем выходит 1/2 — игра сбалансирована. Кажется, что этот ответ неправильный, потому что мы забыли какие-нибудь сложные вероятности или ещё что-то.
Но нет, строгий подсчёт вероятностей даёт тот же результат:
- у нас всего есть 216 вариантов выброса кубиков (предполагаем, что кубики упорядоченные, то есть комбинация 1-2-3 отличается от комбинации 1-3-2)
- у нас есть 75 вариантов с одной единицей (для простоты положим, что мы изначально поставили на единицу — выбор цифры, очевидно, не меняет выкладок) = 3 кубика, где она может выпасть × 5 вариантов для второго кубика × 5 вариантов для третьего
- у нас есть 15 вариантов с двумя единицами = 3 кубика, где не выпала единица × 5 вариантов для этого кубика
- у нас есть один вариант с тремя единицами
- итого средний выигрыш = 75 × 1 + 15 × 2 + 1 × 3 = 108, то есть как раз половина от 216
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
А вот если немножко изменить условие:
Есть три коробки:
Первая содержит две золотых монеты, вторая содержит две серебряные монеты, третья содержит одну золотую и одну серебряную монету.
После выбора случайной коробки и случайной монеты из нее, выбранная монета оказалась золотой.
Какова вероятность того, что вторая монета в выбранной коробке серебряная?
По логике 1/2...., но есть нюанс =)
no subject
Сначала да, кажется, что 1/2, но посчитав, понимаешь, что 2/3.
А ты мою игру понял?
no subject
(Anonymous) 2017-08-24 10:04 am (UTC)(link)no subject
no subject
(Anonymous) 2017-08-24 12:24 pm (UTC)(link)no subject
no subject
no subject
Мне больше нравится другой вариант объяснения - этот "на пальцах", а меня переклинило именно потому, что, казалось бы, универсальный метод подсчёта вероятностей дал сбой. Игру можно переформулировать в других терминах: мы всегда платим по 1 доллару, а получаем в ответ количество единиц + 1, если количество единиц больше нуля. Тогда честная стоимость игры 75*2+15*3+1*4=199, что явно меньше 216 - запрашиваемой цены.
no subject
no subject
no subject
ведь если посчитать количество неблагоприятных исходов по получиться (5/6)^3 = 125/216
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject