Геометрия на пальцах
May. 20th, 2015 01:40 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
green_frЯ тут придумал гениальное доказательство старой «школьной» теоремы о точке пересечения медиан треугольника.
Возьмём сначала равносторонний треугольник R, докажем (тривиально), что медианы пересекаются в одной точке, что эта точка находится на расстоянии 1:2 на каждой медиане. А затем сделаем этот треугольник из палочек. И говорим волшебную фразу: для каждого треугольника T можно найти такую точку зрения, из которой наш треугольник R будет выглядеть, как T. Ну или проекция треугольника R на некую плоскость будет T. Очевидно, что проекции медиан остаются медианами проекции. Очевидно также, что единая точка пересечения при проекции остаётся единой точкой. ЧиТД.
А потом меня заглючило — попробуем сделать то же самое с теоремой о точке пересечения биссектрис. Рассуждения те же самые, и вроде как проекция биссектрисы — это биссектриса проекции. Но, очевидно, получается ерунда. В частности, мы таким же образом «доказали» неверный факт, что точка пересечения биссектрис делит их в той же постоянной пропорции 1:2, что и в R.
И я как-то не могу увидеть, где ошибка:
1. Вся эта затея с проекциями — ерунда. Не всякий T можно представить как проекцию R.
2. Проекция биссектрисы — не биссектриса проекции (с высотами, например, это именно так, но с биссектрисами — я не могу понять, почему здесь могла бы быть ошибка).
Сидеть и аккуратно выводить стереометрию откровенно лень, хочется красивого и понятного объяснения :-)
Возьмём сначала равносторонний треугольник R, докажем (тривиально), что медианы пересекаются в одной точке, что эта точка находится на расстоянии 1:2 на каждой медиане. А затем сделаем этот треугольник из палочек. И говорим волшебную фразу: для каждого треугольника T можно найти такую точку зрения, из которой наш треугольник R будет выглядеть, как T. Ну или проекция треугольника R на некую плоскость будет T. Очевидно, что проекции медиан остаются медианами проекции. Очевидно также, что единая точка пересечения при проекции остаётся единой точкой. ЧиТД.
А потом меня заглючило — попробуем сделать то же самое с теоремой о точке пересечения биссектрис. Рассуждения те же самые, и вроде как проекция биссектрисы — это биссектриса проекции. Но, очевидно, получается ерунда. В частности, мы таким же образом «доказали» неверный факт, что точка пересечения биссектрис делит их в той же постоянной пропорции 1:2, что и в R.
И я как-то не могу увидеть, где ошибка:
1. Вся эта затея с проекциями — ерунда. Не всякий T можно представить как проекцию R.
2. Проекция биссектрисы — не биссектриса проекции (с высотами, например, это именно так, но с биссектрисами — я не могу понять, почему здесь могла бы быть ошибка).
Сидеть и аккуратно выводить стереометрию откровенно лень, хочется красивого и понятного объяснения :-)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2015-05-20 11:43 am (UTC)no subject
Date: 2015-05-20 11:45 am (UTC)no subject
Date: 2015-05-20 11:56 am (UTC)Майк, тем не менее, чуть ниже если и не объяснил, то хорошо подтолкнул к ответу :-)
no subject
Date: 2015-05-20 11:46 am (UTC)Боюсь, что так. в каком-то предельном случае угла 90 градусов, если его ворочать вокругодной из сторон - бидсектриса будет "ложиться" на эту сторону, а вторая никуда не денется, будет торчать
no subject
Date: 2015-05-20 11:54 am (UTC)no subject
Date: 2015-05-20 11:51 am (UTC)no subject
Date: 2015-05-20 11:57 am (UTC)А с медианой всё же должно работать. Проекция середины, по-моему, всегда останется серединой проекции, нет разве?
no subject
Date: 2015-05-20 12:15 pm (UTC)В перспективной
коническойпроекции - увы, нет.no subject
Date: 2015-05-20 12:23 pm (UTC)no subject
Date: 2015-05-20 12:27 pm (UTC)Но в ней точку зрения не найти, про которую
no subject
Date: 2015-05-20 12:31 pm (UTC)Или не найти проекцию, где треугольник станет равносторонним?
Первое - вопрос формулировки, понятно.
Второе - скорее всего таки можно. Попробуем посчитать, или лениво?
no subject
Date: 2015-05-20 12:39 pm (UTC)Мы как будто рисуем лучи из глаза через углы треугольника на плоскость, перпендикулярную лучу зрения (это то, что мы "видим").
При этом
a) плоскость, содержащая треугольник, неперпендикулярна лучу зрения (то есть не параллельна проекционной плоскости)
б) "лучи" исходящие из глаза - не параллельны (а в параллельной проекции эти лучи параллельны).
no subject
Date: 2015-05-20 12:49 pm (UTC)Теперь утверждение таки, что в параллельной проекции можно найти угол между плоскостями (треугольника и плоскости, на которую проекция) когда произвольный треугольник станет равносторонним.
no subject
Date: 2015-05-20 01:15 pm (UTC)no subject
Date: 2015-05-20 11:57 am (UTC)no subject
Date: 2015-05-20 12:14 pm (UTC)КоническаяПерспективная проекция. Прямые переходят в прямые, а углы, их отношения и отношения длин - не сохраняются.no subject
Date: 2015-05-20 02:53 pm (UTC)no subject
Date: 2015-05-24 10:46 pm (UTC)Когда я учился в школе, я сам его придумал: у меня были не проекции, а сжатия/растяжения. Я представлял себе, что вместо плоскости у меня лист резины, который может равномерно растягиваться в любом направлении так, что у нас сохраняются соотношения длин (кажется, это называется "линейное преобразование"). Легко доказать, что для каждых двух треугольников существует такая последовательность преобразований,что один превращается в другой.
Дальше в самом деле очевидно, что если медианы пересикаются в одной точке в одном треугольнике - то пересекаются во всех (потому что медианы сохраняются). Углы при растяжении/сжатии деформируются и биссектрисы (и высоты) не сохраняются.
Я целое лето все это писал в тетрадку, принес учительнице и она порадовала меня страничкой из учебника по аналитической геометрии, где было сказано про аффинные преобразования. Так выяснилось, что я не совершил открытия
(понятно, что проекции - это тоже аффинные преобразования)
Но методика при этом была полезная. Когда я сдавал вступительный экзамен, там была задача по стереометрии - а на химфаке задач по стереометрии не было лет десять, поэтому никто к ней не был готов, кроме меня, потому что это была стандартная физтеховская задача про то, как какую-то фигуру рассекают какие-то плоскости и надо было определить соотношение объемов
Хитрость была в том, что рассекали призму. И нигде не было сказано, что это - прямоугольная призма, но и про угол ничего не было сказано. Все решили, что раз угол не дан, то значит это пи пополам и так и решали. А я посмотрел на условия и понял, что угол вообще не важен - там все строиться на соотношении длин, то есть при любой сжатии и растяжении (пространственном) ответ не измениться. Обозвал угол альфа и терпеливо ждал, пока все сократиться. Все сократилось, разумеется.
При этом я от волнения в соседней задаче допустил ошибку на переходе от cosx=1 к значению х. Я написал пи пополам плюс два пи эн, перепутав косинус с синусом.
Дома сообразил и покрылся холодным потом. Но, видимо, стереометрию корректно решил я один (и, может, еще один парень, лауреат всесоюзной олимпиады по математике - если он не поступал без экзаменов, конечно), поэтому я все равно получил одну из пяти пятерок.
no subject
Date: 2015-05-25 06:53 pm (UTC)А я когда был школьником, написал в журнал "Квант" письмо с выигрышной стратегией в рулетку. Как я сейчас понимаю, классика: каждый раз повышаем ставки вдвое, рано или поздно выиграем - покроем все былые проигрыши + первоначальная ставка в виде выигрыша. Вне зависимости от вероятности выпадания выигрыша, лишь бы он приносил вдвое больше поставленной суммы. Я уже тогда понимал, что это должна быть какая-то лажа, но не мог понять, где. К сожалению, из журнала ответили не меньшей пургой ("именно поэтому ставки в казино ограничены!"), правильный ответ ("просто ограничены средства у игрока") я понял гораздо позже. А ответ на их ответ (ставки ограничивают, чтобы понизить волятильность результата казино) я узнал уже совсем недавно.