Геометрия на пальцах
May. 20th, 2015 01:40 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
green_frЯ тут придумал гениальное доказательство старой «школьной» теоремы о точке пересечения медиан треугольника.
Возьмём сначала равносторонний треугольник R, докажем (тривиально), что медианы пересекаются в одной точке, что эта точка находится на расстоянии 1:2 на каждой медиане. А затем сделаем этот треугольник из палочек. И говорим волшебную фразу: для каждого треугольника T можно найти такую точку зрения, из которой наш треугольник R будет выглядеть, как T. Ну или проекция треугольника R на некую плоскость будет T. Очевидно, что проекции медиан остаются медианами проекции. Очевидно также, что единая точка пересечения при проекции остаётся единой точкой. ЧиТД.
А потом меня заглючило — попробуем сделать то же самое с теоремой о точке пересечения биссектрис. Рассуждения те же самые, и вроде как проекция биссектрисы — это биссектриса проекции. Но, очевидно, получается ерунда. В частности, мы таким же образом «доказали» неверный факт, что точка пересечения биссектрис делит их в той же постоянной пропорции 1:2, что и в R.
И я как-то не могу увидеть, где ошибка:
1. Вся эта затея с проекциями — ерунда. Не всякий T можно представить как проекцию R.
2. Проекция биссектрисы — не биссектриса проекции (с высотами, например, это именно так, но с биссектрисами — я не могу понять, почему здесь могла бы быть ошибка).
Сидеть и аккуратно выводить стереометрию откровенно лень, хочется красивого и понятного объяснения :-)
Возьмём сначала равносторонний треугольник R, докажем (тривиально), что медианы пересекаются в одной точке, что эта точка находится на расстоянии 1:2 на каждой медиане. А затем сделаем этот треугольник из палочек. И говорим волшебную фразу: для каждого треугольника T можно найти такую точку зрения, из которой наш треугольник R будет выглядеть, как T. Ну или проекция треугольника R на некую плоскость будет T. Очевидно, что проекции медиан остаются медианами проекции. Очевидно также, что единая точка пересечения при проекции остаётся единой точкой. ЧиТД.
А потом меня заглючило — попробуем сделать то же самое с теоремой о точке пересечения биссектрис. Рассуждения те же самые, и вроде как проекция биссектрисы — это биссектриса проекции. Но, очевидно, получается ерунда. В частности, мы таким же образом «доказали» неверный факт, что точка пересечения биссектрис делит их в той же постоянной пропорции 1:2, что и в R.
И я как-то не могу увидеть, где ошибка:
1. Вся эта затея с проекциями — ерунда. Не всякий T можно представить как проекцию R.
2. Проекция биссектрисы — не биссектриса проекции (с высотами, например, это именно так, но с биссектрисами — я не могу понять, почему здесь могла бы быть ошибка).
Сидеть и аккуратно выводить стереометрию откровенно лень, хочется красивого и понятного объяснения :-)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2015-05-20 12:31 pm (UTC)Или не найти проекцию, где треугольник станет равносторонним?
Первое - вопрос формулировки, понятно.
Второе - скорее всего таки можно. Попробуем посчитать, или лениво?
no subject
Date: 2015-05-20 12:39 pm (UTC)Мы как будто рисуем лучи из глаза через углы треугольника на плоскость, перпендикулярную лучу зрения (это то, что мы "видим").
При этом
a) плоскость, содержащая треугольник, неперпендикулярна лучу зрения (то есть не параллельна проекционной плоскости)
б) "лучи" исходящие из глаза - не параллельны (а в параллельной проекции эти лучи параллельны).
no subject
Date: 2015-05-20 12:49 pm (UTC)Теперь утверждение таки, что в параллельной проекции можно найти угол между плоскостями (треугольника и плоскости, на которую проекция) когда произвольный треугольник станет равносторонним.
no subject
Date: 2015-05-20 01:15 pm (UTC)