Геометрия на пальцах

[green_fr]

Я тут придумал гениальное доказательство старой «школьной» теоремы о точке пересечения медиан треугольника.

Возьмём сначала равносторонний треугольник R, докажем (тривиально), что медианы пересекаются в одной точке, что эта точка находится на расстоянии 1:2 на каждой медиане. А затем сделаем этот треугольник из палочек. И говорим волшебную фразу: для каждого треугольника T можно найти такую точку зрения, из которой наш треугольник R будет выглядеть, как T. Ну или проекция треугольника R на некую плоскость будет T. Очевидно, что проекции медиан остаются медианами проекции. Очевидно также, что единая точка пересечения при проекции остаётся единой точкой. ЧиТД.

А потом меня заглючило — попробуем сделать то же самое с теоремой о точке пересечения биссектрис. Рассуждения те же самые, и вроде как проекция биссектрисы — это биссектриса проекции. Но, очевидно, получается ерунда. В частности, мы таким же образом «доказали» неверный факт, что точка пересечения биссектрис делит их в той же постоянной пропорции 1:2, что и в R.

И я как-то не могу увидеть, где ошибка:
1. Вся эта затея с проекциями — ерунда. Не всякий T можно представить как проекцию R.
2. Проекция биссектрисы — не биссектриса проекции (с высотами, например, это именно так, но с биссектрисами — я не могу понять, почему здесь могла бы быть ошибка).

Сидеть и аккуратно выводить стереометрию откровенно лень, хочется красивого и понятного объяснения :-)

Comments

[wildest-honey.livejournal.com]

почему ты можешь понять с высотами, а не с биссектрисами? высота - это биссектриса угла в 180 градусов:)

[kalvado.livejournal.com]

Проекция биссектрисы — не биссектриса проекции
Боюсь, что так. в каком-то предельном случае угла 90 градусов, если его ворочать вокругодной из сторон - бидсектриса будет "ложиться" на эту сторону, а вторая никуда не денется, будет торчать

[max-first.livejournal.com]

Перспективная проекция ("будет выглядеть") сохраняет прямые, но не сохраняет углы. Так что с биссектрисой так вряд ли прокатит. Да может и с медианами тоже, как бы это очевидным не казалось

[mopexod.livejournal.com]

Коническая Перспективная проекция. Прямые переходят в прямые, а углы, их отношения и отношения длин - не сохраняются.

[a_p]

тут хочется упомянуть про теорему Чевы. Насколько я понимаю, там как раз доказывается самый общий случай пересечения в одной точке, причём "проективным образом", из соотношения длин отрезков.

[skuzn.livejournal.com]

Этот способ доказательства - проводимый по науке - называется "использование аффинных преобразований" (может,там одна "ф", не помню)
Когда я учился в школе, я сам его придумал: у меня были не проекции, а сжатия/растяжения. Я представлял себе, что вместо плоскости у меня лист резины, который может равномерно растягиваться в любом направлении так, что у нас сохраняются соотношения длин (кажется, это называется "линейное преобразование"). Легко доказать, что для каждых двух треугольников существует такая последовательность преобразований,что один превращается в другой.
Дальше в самом деле очевидно, что если медианы пересикаются в одной точке в одном треугольнике - то пересекаются во всех (потому что медианы сохраняются). Углы при растяжении/сжатии деформируются и биссектрисы (и высоты) не сохраняются.
Я целое лето все это писал в тетрадку, принес учительнице и она порадовала меня страничкой из учебника по аналитической геометрии, где было сказано про аффинные преобразования. Так выяснилось, что я не совершил открытия
(понятно, что проекции - это тоже аффинные преобразования)

Но методика при этом была полезная. Когда я сдавал вступительный экзамен, там была задача по стереометрии - а на химфаке задач по стереометрии не было лет десять, поэтому никто к ней не был готов, кроме меня, потому что это была стандартная физтеховская задача про то, как какую-то фигуру рассекают какие-то плоскости и надо было определить соотношение объемов
Хитрость была в том, что рассекали призму. И нигде не было сказано, что это - прямоугольная призма, но и про угол ничего не было сказано. Все решили, что раз угол не дан, то значит это пи пополам и так и решали. А я посмотрел на условия и понял, что угол вообще не важен - там все строиться на соотношении длин, то есть при любой сжатии и растяжении (пространственном) ответ не измениться. Обозвал угол альфа и терпеливо ждал, пока все сократиться. Все сократилось, разумеется.
При этом я от волнения в соседней задаче допустил ошибку на переходе от cosx=1 к значению х. Я написал пи пополам плюс два пи эн, перепутав косинус с синусом.
Дома сообразил и покрылся холодным потом. Но, видимо, стереометрию корректно решил я один (и, может, еще один парень, лауреат всесоюзной олимпиады по математике - если он не поступал без экзаменов, конечно), поэтому я все равно получил одну из пяти пятерок.