It's all in your mind

Stand-up Maths (приятный канал: и смешно, и про математику) поднял недавно тему Dobble. Не так красиво, как рассказывал Лёша, но логика примерно такая же: как устроена эта игра, как самому сделать набор карточек? Поскольку это не только Math, но и Stand-Up, автор начинает с двух заведомо правильных, но совершенно бессмысленных вариантов:
1. На всех карточках есть одна общая картинка, все остальные картинки уникальные. Предлагает назвать этот тип игр не «найди общее», а «найди домик».
2. Каждая картинка есть в наборе в двух экземплярах на разных карточках, и на каждой карточке есть столько картинок, сколько в колоде карточек минус одна. Очевидно работающий вариант, но столь же очевидно непрактичный.

Первая половина видео — примерно то же самое, что было у нас в лагере, только быстренько, не останавливаясь на интересных местах. Геометрия (самая красота!) подана, но скомкано. Вопрос о недостающих карточках поднят, но тоже без ответа. Детский вариант Dobble тоже упомянут.

Из нового: Лёша тоже рассказывал, но я не записал, а тут почему-то проникся. Существует вопрос: какого уровня Dobble можно сделать? Под «уровнем» я понимаю количество картинок на карточке минус один, то есть первый пример из моего старого поста — это второй уровень игры, и он даёт нам колоду из 7 карточек с 3 картинками на каждой. Стандартная колода Dobble — это 7 уровень: 57 карточек с 8 картинками. Лёша нам наглядно показал, что нельзя сделать колоду 6 уровня. Matt озвучивает общее правило (насколько я понял, недоказанная гипотеза): уровень должен быть степенью простого числа.

---

А во второй половине Matt рассказывает о совершенно другом подходе к решению задачи. Попытаемся найти такой набор целых чисел, попарные разницы между которыми представляют собой последовательность натуральных чисел. Например, 0-1-3 — разности будут 1-2-3. Представим себе круг из 7 карточек (забудем на минуточку, откуда мы взяли волшебное число 7). Поместим картинку № 1 на карточки 0-1-3. Сдвинем все карточки по кругу. Поместим картинку № 2 на новые карточки 0-1-3. Легко видеть, что после 7 поворотов мы получим нашу колоду 2 уровня из 7 карточек с 3 картинками на каждой. Даже понятно, как это получается: представим себе два круга с 7 точками. У первого круга точки 0-1-3 раскрашены в синий цвет, у второго — в красный. Если синий круг повернуть относительно красного на какое-то количество точек (отличное от 0), то ровно одна синяя точка совпадёт с красной. Именно потому, что если бы совпадали две пары точек, это означало бы наличие двух пар точек в изначальном наборе, разность между которыми была бы одинаковой.

То есть, вопрос построения колоды Dobble сводится к вопросу нахождения набора чисел, попарные разности которых будут давать все целые числе до какого-то. Не сказать, чтобы эта задача была существенно проще первоначальной, но у неё есть преимущество — ею люди занялись задолго до того, как придумали Dobble. Matt цитирует журнал 1906 года с условием задачи, а потому другой, 1907 года, с решением для того, что мы назвали колодами 2, 3, 4, 5 и 7 уровней — колода 6 уровня невозможна. Для стандартной колоды Dobble набор чисел совершенно нетривиален: 0-1-3-13-32-36-43-52.

---

В конце Matt показывает свою колоду 101 уровня. Понятно, что там получается огромное количество карточек (10303), поэтому он решил распечатать только часть из них — как мы знаем по стандартной колоде Dobble, играть можно и не полной колодой, никто разницы не заметит. Проблему он осознал только когда получил распечатанные карточки. Очевидно, что для создания колоды, он расположил карточки квадратом 101×101, плюс 102 карточки «в бесконечности». Для печати он тупо выбрал первые 101 карточек, не задумавшись о том, что по построению у них будет одна и та же общая картинка. То есть да, он таки случайно сделал ту самую игру «найди домик», над которой ржал в начале выпуска. Искренне надеюсь, что он выдумал эту историю, чтобы его видео было интереснее смотреть. Но боюсь (по собственному опыту знаю), что таки нет. Тяжело быть идиотом :-)