Pour la science № 551 — комплексные числа
Nov. 13th, 2023 02:47 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
green_frВ номере досье на тему комплексных чисел в квантовой физике. Основной тезис мне очень интересен, но я его не понял вообще. Во-первых, вроде как в квантовой механике есть вариант с формулами, использующими комплексные числа, и вариант без них. Уже само по себе это звучит для меня странно, мне казалось, что комплексные числа — это крайне удобный инструмент, но не единственный. Всегда можно переписать уравнения с комплексными числами без них, переопределив кучу переменных (как минимум, введя по две действительных переменных вместо каждой комплексной — вместо переменной a, две переменные ar и ai), кое-где переопределив и функции (вместо a = b * c мы пишем ar = br * cr — bi * ci и ai = br * ci + bi * cr). Но я верю авторам, наверное не всё так просто.
А во-вторых, вроде как сделали какие-то эксперименты, результаты которых можно объяснить только формулами с комплексными числами. Более того, вроде как ещё и доказали, что нет формул без комплексных чисел, которые могли бы объяснить эти результаты. Тут я тоже, изо всех сил старался понять, в чём состоял эксперимент, но тоже не получилось. А жаль, потому что какая-то часть досье посвящена скорее философскому вопросу реальности чисел и вообще математики. Если квантовая физика описывается комплексными числами, то чем они менее реальны (невольная тавтология), чем действительные числа? Наш мир — комплексный? Комплексные числа прекрасно описывают колебания. Говорит ли это о какой-то фундаментальной роли колебаний в структуре нашего мира? Ну и так далее.
С другой стороны, у меня в последнее время достаточно регулярная бессонница, и я часто читаю посреди ночи, просто, чтобы заснуть. Как только сон возвращается — немедленно откладываю чтиво. Всё это тоже, конечно, сказывается на качестве восприятия информации. Одним словом, из этого досье мне была понятной только история комплексных чисел :-)
Пишут, что в Италии (это начало XVI века) существовала прекрасная традиция математических дуэлей. Когда ты вызываешь на дуэль профессора математики, и если ты выиграешь эту дуэль, то занимаешь его профессорское место. Оно, конечно, хорошо, когда математика становится зрелищной. Но конкретно эта традиция привела к тому, что математики перестали публиковаться — лучше приберечь красивую теоремку на чёрный день, когда тебя кто-то вызовет на дуэль.
И вот, в 1526 году умирает Сципион Дель Ферро, который нашёл общее решение для уравнения x3+ax=b:
На смертном одре он рассказывает своё решение своему ученику Антонио Марио Фиоре. Который вызывает на дуэль Никколо Тарталью: пишет ему 30 уравнений и требует найти их решения. Фишка в том, что незадолго до этого Тарталья тоже открыл эту формулу, поэтому дуэль он выиграл. Но формулу, понятное дело, не опубликовал — интересное, должно быть, было время. Когда нужно внимательно следить, кто в каких дуэлях участвовал, кто какие формулы скорее всего знает.
Через какое-то время Тарталья показывает формулу Джероламо Кардано, под обещание не публиковать формулу без его разрешения. Но в 1545 году Кардано публикует её (поэтому формула сегодня называется «формулой Кардано»). Тарталья обвиняет Кардано в плагиате, но это не плагиат (авторство Тартальи и даже Ферро указаны в книге Кардано), это нарушение договора.
В журнале пишут, что «Кардано доказал формулу и опубликовал» — эту фразу я снова не смог понять. Что тут доказывать? Подставь, раскрой скобки, получи ноль. Судя по Википедии, Кардано не просто раскрыл скобки, он расширил формулу, дописав её для двух оставшихся корней кубического уравнения. Интересно, как именно выглядела формула у Кардано, потому что два оставшихся корня пишутся через комплексные числа (даже если сами они вещественные). И журнал прямо указывает на то, что современную форму этим уравнениям придал уже Рафаэль Бомбелли. Собственно, он понял, что у квадратных корнех из отрицательный чисел, которые у Кардано были промежуточным этапом, и которые сокращались в окончательном результате, может быть свой смысл. Более того, могут быть и корни уравнения, в которых эти странные числа не сокращались. Так, собственно, и были введены в математику комплексные числа.
Чуть дальше в журнале, и более века спустя: Франция, Декарт. Понятие комплексных чисел уже существует, но ещё не на таком интуитивном уровне, как сейчас. Тут журналисты очень хорошо замечают, что в XVI веке даже отрицательные числа считались диковинкой. Википедия добавляет, что отрицательные числа начали активно применять в математике только к XIX веку, окончательно сняв вопрос об их «целесообразности» в XX. Так что, какие там комплексные числа?
Так вот, Декарт явно не принимал комплексные числа за «нормальные», но он прекрасно видел смысл факторизации полиномов, то есть (пример для полинома 3-й степени) записи в виде (x — x1)*(x — x2)*(x — x3). Да, если x1, x2 и x3 — «обычные» числа, то они же и корни полинома. Но иногда на их месте стоит то, что мы сегодня называем комплексными корнями полинома — а Декарт называл «фальшивыми» или «воображаемыми» корнями. Откуда у нас и появилось слово «воображаемый» в контексте комплексных чисел.
А во-вторых, вроде как сделали какие-то эксперименты, результаты которых можно объяснить только формулами с комплексными числами. Более того, вроде как ещё и доказали, что нет формул без комплексных чисел, которые могли бы объяснить эти результаты. Тут я тоже, изо всех сил старался понять, в чём состоял эксперимент, но тоже не получилось. А жаль, потому что какая-то часть досье посвящена скорее философскому вопросу реальности чисел и вообще математики. Если квантовая физика описывается комплексными числами, то чем они менее реальны (невольная тавтология), чем действительные числа? Наш мир — комплексный? Комплексные числа прекрасно описывают колебания. Говорит ли это о какой-то фундаментальной роли колебаний в структуре нашего мира? Ну и так далее.
С другой стороны, у меня в последнее время достаточно регулярная бессонница, и я часто читаю посреди ночи, просто, чтобы заснуть. Как только сон возвращается — немедленно откладываю чтиво. Всё это тоже, конечно, сказывается на качестве восприятия информации. Одним словом, из этого досье мне была понятной только история комплексных чисел :-)
Пишут, что в Италии (это начало XVI века) существовала прекрасная традиция математических дуэлей. Когда ты вызываешь на дуэль профессора математики, и если ты выиграешь эту дуэль, то занимаешь его профессорское место. Оно, конечно, хорошо, когда математика становится зрелищной. Но конкретно эта традиция привела к тому, что математики перестали публиковаться — лучше приберечь красивую теоремку на чёрный день, когда тебя кто-то вызовет на дуэль.
И вот, в 1526 году умирает Сципион Дель Ферро, который нашёл общее решение для уравнения x3+ax=b:
На смертном одре он рассказывает своё решение своему ученику Антонио Марио Фиоре. Который вызывает на дуэль Никколо Тарталью: пишет ему 30 уравнений и требует найти их решения. Фишка в том, что незадолго до этого Тарталья тоже открыл эту формулу, поэтому дуэль он выиграл. Но формулу, понятное дело, не опубликовал — интересное, должно быть, было время. Когда нужно внимательно следить, кто в каких дуэлях участвовал, кто какие формулы скорее всего знает.
Через какое-то время Тарталья показывает формулу Джероламо Кардано, под обещание не публиковать формулу без его разрешения. Но в 1545 году Кардано публикует её (поэтому формула сегодня называется «формулой Кардано»). Тарталья обвиняет Кардано в плагиате, но это не плагиат (авторство Тартальи и даже Ферро указаны в книге Кардано), это нарушение договора.
В журнале пишут, что «Кардано доказал формулу и опубликовал» — эту фразу я снова не смог понять. Что тут доказывать? Подставь, раскрой скобки, получи ноль. Судя по Википедии, Кардано не просто раскрыл скобки, он расширил формулу, дописав её для двух оставшихся корней кубического уравнения. Интересно, как именно выглядела формула у Кардано, потому что два оставшихся корня пишутся через комплексные числа (даже если сами они вещественные). И журнал прямо указывает на то, что современную форму этим уравнениям придал уже Рафаэль Бомбелли. Собственно, он понял, что у квадратных корнех из отрицательный чисел, которые у Кардано были промежуточным этапом, и которые сокращались в окончательном результате, может быть свой смысл. Более того, могут быть и корни уравнения, в которых эти странные числа не сокращались. Так, собственно, и были введены в математику комплексные числа.
Чуть дальше в журнале, и более века спустя: Франция, Декарт. Понятие комплексных чисел уже существует, но ещё не на таком интуитивном уровне, как сейчас. Тут журналисты очень хорошо замечают, что в XVI веке даже отрицательные числа считались диковинкой. Википедия добавляет, что отрицательные числа начали активно применять в математике только к XIX веку, окончательно сняв вопрос об их «целесообразности» в XX. Так что, какие там комплексные числа?
Так вот, Декарт явно не принимал комплексные числа за «нормальные», но он прекрасно видел смысл факторизации полиномов, то есть (пример для полинома 3-й степени) записи в виде (x — x1)*(x — x2)*(x — x3). Да, если x1, x2 и x3 — «обычные» числа, то они же и корни полинома. Но иногда на их месте стоит то, что мы сегодня называем комплексными корнями полинома — а Декарт называл «фальшивыми» или «воображаемыми» корнями. Откуда у нас и появилось слово «воображаемый» в контексте комплексных чисел.
no subject
Date: 2023-11-14 07:35 am (UTC)Разве без комплексных нельзя расписать все три корня буквально? Я когда-то это расписывал, для кубического уравнения в общем виде; да и для четвертой степени тоже. Длиннющая была формула; писал на обоях (вдоль).
no subject
Date: 2023-11-14 09:15 am (UTC)no subject
Date: 2023-11-14 04:01 pm (UTC)казус решался именно при помощи комплексных чисел (то есть благодаря ним формула "работала" для всех а)
no subject
Date: 2023-11-18 11:00 pm (UTC)Представьте, что вы попали в прошлое, встретили там математика, скажем, Птолемея. Птолемей составляет тригонометрическую таблицу. Ему нужно вычислить cos(20°). Он знает что cos(3a)=4 cos³(a) - 3cos(a), и что cos(60°)=1/2. Вроде этого достаточно, чтобы найти cos(20°). Но как?
"О какая, удача!" - думаете вы, - "Я как раз только что учил формулу Кардано. Я попал в нужное время, я смогу помочь бедному ученому, и показать каких высот достигла математика в будущем".
Вы говорите Птолемею, что нужно решить уравнение:
4x³ - 3x = 1/2.
Тут правда возникает проблема: в то время еще не изобрели алгебраической нотации. Поэтому понятия кубического уравнения не было, не говоря уже о понятие "формула". Но тем не менее Птолемею очень надо составить тригонометрическую таблицу, поэтому он готов вас терпеливо слушать, и изучать математику будущего. Вы рассказываете ему алгебру, формулу Кардано, по дороге вам приходится рассказать и что такое отрицательные числа.
Наконец Птолемей все понял, и говорит:
- Ну давай решим твоей формулой наше уравнение.
Вы говорите:
- Легче простого: подставим коэффициенты из уравнения в формулу и получим ответ:
x = 1/2 (∛(1/2+√(-3)/2) + ∛(1/2+√(-3)/2))
Но тут Птолемей замечает, что тут есть квадратный корень из отрицательного числа. Он уже достаточно хорошо усвоил алгебру, чтобы понять, что такого числа не существует.
Вы ему говорите:
- Ах, да, я забыл сказать, что для решения кубических уравнений нам нужны не только отрицательные числа, но и комплексные числа.
- Так расскажи, что это такое, о мудрец из будущего. Мы уже потратили много драгоценного времени. Я совсем забросил астрономию. Но если мы сможем решить это уравнение, я закончу свою тригонометрическую таблицу, и смогу применить ее в астрономии.
Вы рассказывает Птолемею про комплексные числа. Птолемей оказался способным учеником - всего за пару недель он все усвоил.
- Хорошо, квадратный корень из -3 равен i√3. Теперь нам нужно извлечь кубический корень из (1+i√3)/2. Как нам это сделать? - спрашивает Птолемей.
Тут вы задумывайтесь. Действительно, как? Рисуете это число на комплексной плоскости. К счастью, вы вспоминаете, чтобы извлечь кубический корень из комплексного числа, нужно извлечь кубический корень из модуля, а аргумент поделить на 3. Ура! у этого числа модуль 1. Кубический корень извлечь очень просто - это 1. А аргумент тоже найти просто - это 60°. Значит аргумент кубического корня будет 20°. Вы подставляете этот результат в формулу, и радостно восклицаете:
- Смотрите, как здорово: мнимая часть благополучно сокращается. Получается, что у этого уравнения одно действительное решение, и оно равно... (1/2)(cos 20° + i sin 20°) + (1/2)(cos 20° - i sin 20°). Aга, минуточку ... x=cos 20°!
- Это и есть математика будущего? - спрашивает разочарованный Птолемей.
no subject
Date: 2023-11-19 06:51 am (UTC)Отличнейший пример. Спасибо!