Занимательная математика

[green_fr]

Купили очередную игрушку с кубиками, начал считать вероятности, просто как-то не получается.
Кидаем один кубик - всё просто, вероятность у каждой грани 1/6.
Кидаем два кубика - тоже просто, вероятность выкинуть в сумме число n равна (n-1)/36 для n<=7 и (13-n)/36 для n>=7. Т.е. такая крышка треугольная.
А в этой игрушке нужно кидать пару кубиков до тех пор, пока не выпадет 4 разные значения. Т.е. если выпадает уже выпавшая в этом туре сумма, мы перебрасываем кубики.
Задача: пересчитать вероятности всех возможных сумм от 2 до 12.
Провёл час с ручкой и бумажкой - быстро и красиво не получается. Сел написал на VBA метод Monte-Carlo - цифры вылезли, но удовлетворения не принесли. Особенно, если учесть грядущую смену работы именно что с программиста на статистика...

Comments

[kalvado.livejournal.com]

предложение, которое пока у меня сработало:
во втором круге после выпадения "а" все вероятности остальных результатов домножаются на 1/(1-а); после выпадения "аб" - в третем круге 1/(1-а)(1-б)
никаких прогрессий, тупой перебор.
для случая 0.5, 0.25,0.25:
после выпадения А(0.5), вероятности б и ц будут 0.25/(1-0.5)=0.5
после выпадения Б(0.25) - а'=0.5/(1-0.25)=2/3, ц'=0.25/(1-0.25)=1/3
т.е. вероятность
АБ=АЦ в полном раскладе (включая все повторы) 0.5*0.5=1/4
БА(=ЦА)=0.25*2/3=1/6,
БЦ=ЦБ=0.25*1/3=1/12

вот и фсе, осталось расписать на случай 4 элементов из 11...

[mihhon.livejournal.com]

вот аналитическое решение:



программа даёт те же результаты для предыдущих примеров:

check_sum=0.9995112419128418
a:0.25: result=0.5830888748168945
b:0.5: result=0.8328447341918945
c:0.25: result=0.5830888748168945

Зелёный, проверь, у тебя то же самое через монтекарло получилось?

4 из 11:

check_sum=0.9999991075274337
2:0.027777777777777776: result=0.13082540553267935
3:0.05555555555555555: result=0.24893756434728012
4:0.08333333333333333: result=0.353921116535629
5:0.1111111111111111: result=0.4456963584380095
6:0.1388888888888889: result=0.5246803714082363
7:0.16666666666666666: result=0.5918747975860624
8:0.1388888888888889: result=0.5246803714082362
9:0.1111111111111111: result=0.4456963584380088
10:0.08333333333333333: result=0.3539211165356294
11:0.05555555555555555: result=0.24893756434727982
12:0.027777777777777776: result=0.13082540553267938

[mihhon.livejournal.com]

да, там где суммы - суммы по всем подмножествам I :) забыл написать

[mihhon.livejournal.com]

Pl - суммировать все такие суммы, куда входит l={l, ik}={l, i, j, z}

[green-fr.livejournal.com]

Примерно такие числа, да...
Я просто надеялся, что там есть какой-то такой финт ушами, сделав который мы можем сказать "очевидно данная сумма равняется..."

[green-fr.livejournal.com]

Я на этом же остановился: вероятность корректируется в зависимости от выпавшего, потом сумма по всем вариантам первого элемента. Заткнулся достаточно быстро, ничего там не сворачивается, не сходится. Т.е. можно аккуратно всё выписать и досчитать, но это как-то грустно получается.