Pour la science № 464 — пи
Sep. 6th, 2016 09:49 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
green_frСтатья о разнообразных методах вычисления числа пи. В первой же фразе показывают эффективный метод, но на нём не задерживаются, чтобы с удовольствием перейти ко всякой экзотике. Эффективный метод, к слову, использует совершенно неправдоподобную, но верную формулу (я понимаю, что один её вид отпугнёт половину читающих, но не могу удержаться):
Другие методы ещё интереснее.
1. Метод Монте-Карло «в лоб» — бросаем камни в квадрат, смотрим на пропорцию камней, попавших во вписанный в этот квадрат круг. Физически очень сложно равномерно разбрасывать камни (автор приводит какой-то эксперимент с учётом плотности камней — чем больше у камня соседей, тем меньший ему придаётся вес в конечном расчёте, но мне это показалось выведением ответа из уже известного результата), а на компьютере — я помню, как в институте мы попытались повторить этот эксперимент, рисуя точки на экране, и как псевдослучайный генератор чисел очень скоро нарисовал красивое симметричное кружево и зациклился :-)
Но самый лучший эксперимент предложили математики из Монреаля — они стреляли по квадратной мишени из ружья. Более 30 000 выстрелов, одна правильная цифра после запятой. Это только мне кажется, что ребятам нужно было списать на что-то запас патронов?
2. Вариации на тему Монте-Карло — бросаем иглу длины L на сеть параллельных линий, между которыми расстояние L. Считаем количество игл, попавших между двух линий (а не пересекающих одну из линий). На практике даёт 2-3 цифры после запятой.
3. Это были статистические методы, сходящиейся к пи на бесконечности. А есть физический метод (автор Григорий Гальперин), точно дающий цифры десятичной записи пи.
Представим себе «одномерный бильярд», то есть шары могут кататься только по одной прямой. Точнее даже не прямой, а луча — с одной стороны ограничим прямую упругой стенкой. Ударим одним шаром в другой шар такой же массы (первое столкновение), подождём, когда второй шар долетит до стенки (второе столкновение) и вернётся к тому месту, где остановился первый шар (третье столкновение). Посчитали количество столкновений = 3, мы получили первую цифру записи числа пи.
Возьмём теперь первый шар в 100 раз тяжелее второго (по этому поводу нарисовали медитативное видео), посчитаем количество столкновений — их будет ровно 31 — мы получили две цифры числа пи. Ну и так далее.
Очевидно, практического применения нет никакого от слова «совсем». Но у меня просто в голове не укладывается, откуда там может вылезти пи?!
Доказательство тоже прекрасное — доказано, что с отношением масс в 102n вылезает ровно n цифр числа пи, если только последующие n цифр числа пи не являются все девятками. То есть да, теоретически где-то этот метод может дать сбой.
4. Метод гипотезы Сиракуз (я с удивлением узнал, что имеются в виду не греческие Сиракузы, а их американский тёзка, в котором находится хороший университет). Сначала о самой гипотезе — берём произвольное натуральное число n. Если оно чётное, то заменяем его на n/2. А если нечётное — то на 3n+1. Гипотеза в том, что для любого изначального числа мы рано или поздно придём к единице. Гипотеза так и не доказана, но и не опровергнута, и над ней в 1980-е годы работало столько математиков, что в какой-то момент серьёзно рассуждали, не является ли эта гипотеза тайным советским оружием, призванным отвлечь лучшие умы свободного мира от более насущных задач типа совершенствования ядерного оружия.
Отношение к расчёту пи достаточно косвенное — при помощи этой гипотезы, на самом деле, генерятся псевдослучайные числа, а есть теорема о том, что два случайно выбранных числа имеют общий делитель отличный от 1 с вероятностью в 6/π2.
5. Метод через множество Мандельброта — ещё один метод, дающий не схождение на бесконечности, а точное значение до какого-то знака. Но его даже описывать сложно. В двух словах, множество Мандельброта — это множество точек комплексной плоскости, раскрашенные в зависимости от скорости убегания этой точки, если к ней несколько раз применять некую функцию. И там есть определённые точки, которые вылетают за круг радиуса 2 ровно за столько итераций, какая цифра стоит в числе пи. Что самое страшное в этой истории — она доказана!
6. Ну и классика — игра «жизнь». Для неё давно уже доказали, что она теоретически может считать всё, что угодно. Так вот, есть конфигурация этой игры, которая считает пи и показывает его в десятичной записи на игровом поле. Маньяки среди нас.
Другие методы ещё интереснее.
1. Метод Монте-Карло «в лоб» — бросаем камни в квадрат, смотрим на пропорцию камней, попавших во вписанный в этот квадрат круг. Физически очень сложно равномерно разбрасывать камни (автор приводит какой-то эксперимент с учётом плотности камней — чем больше у камня соседей, тем меньший ему придаётся вес в конечном расчёте, но мне это показалось выведением ответа из уже известного результата), а на компьютере — я помню, как в институте мы попытались повторить этот эксперимент, рисуя точки на экране, и как псевдослучайный генератор чисел очень скоро нарисовал красивое симметричное кружево и зациклился :-)
Но самый лучший эксперимент предложили математики из Монреаля — они стреляли по квадратной мишени из ружья. Более 30 000 выстрелов, одна правильная цифра после запятой. Это только мне кажется, что ребятам нужно было списать на что-то запас патронов?
2. Вариации на тему Монте-Карло — бросаем иглу длины L на сеть параллельных линий, между которыми расстояние L. Считаем количество игл, попавших между двух линий (а не пересекающих одну из линий). На практике даёт 2-3 цифры после запятой.
3. Это были статистические методы, сходящиейся к пи на бесконечности. А есть физический метод (автор Григорий Гальперин), точно дающий цифры десятичной записи пи.
Представим себе «одномерный бильярд», то есть шары могут кататься только по одной прямой. Точнее даже не прямой, а луча — с одной стороны ограничим прямую упругой стенкой. Ударим одним шаром в другой шар такой же массы (первое столкновение), подождём, когда второй шар долетит до стенки (второе столкновение) и вернётся к тому месту, где остановился первый шар (третье столкновение). Посчитали количество столкновений = 3, мы получили первую цифру записи числа пи.
Возьмём теперь первый шар в 100 раз тяжелее второго (по этому поводу нарисовали медитативное видео), посчитаем количество столкновений — их будет ровно 31 — мы получили две цифры числа пи. Ну и так далее.
Очевидно, практического применения нет никакого от слова «совсем». Но у меня просто в голове не укладывается, откуда там может вылезти пи?!
Доказательство тоже прекрасное — доказано, что с отношением масс в 102n вылезает ровно n цифр числа пи, если только последующие n цифр числа пи не являются все девятками. То есть да, теоретически где-то этот метод может дать сбой.
4. Метод гипотезы Сиракуз (я с удивлением узнал, что имеются в виду не греческие Сиракузы, а их американский тёзка, в котором находится хороший университет). Сначала о самой гипотезе — берём произвольное натуральное число n. Если оно чётное, то заменяем его на n/2. А если нечётное — то на 3n+1. Гипотеза в том, что для любого изначального числа мы рано или поздно придём к единице. Гипотеза так и не доказана, но и не опровергнута, и над ней в 1980-е годы работало столько математиков, что в какой-то момент серьёзно рассуждали, не является ли эта гипотеза тайным советским оружием, призванным отвлечь лучшие умы свободного мира от более насущных задач типа совершенствования ядерного оружия.
Отношение к расчёту пи достаточно косвенное — при помощи этой гипотезы, на самом деле, генерятся псевдослучайные числа, а есть теорема о том, что два случайно выбранных числа имеют общий делитель отличный от 1 с вероятностью в 6/π2.
5. Метод через множество Мандельброта — ещё один метод, дающий не схождение на бесконечности, а точное значение до какого-то знака. Но его даже описывать сложно. В двух словах, множество Мандельброта — это множество точек комплексной плоскости, раскрашенные в зависимости от скорости убегания этой точки, если к ней несколько раз применять некую функцию. И там есть определённые точки, которые вылетают за круг радиуса 2 ровно за столько итераций, какая цифра стоит в числе пи. Что самое страшное в этой истории — она доказана!
6. Ну и классика — игра «жизнь». Для неё давно уже доказали, что она теоретически может считать всё, что угодно. Так вот, есть конфигурация этой игры, которая считает пи и показывает его в десятичной записи на игровом поле. Маньяки среди нас.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2016-09-06 07:56 am (UTC)2) на Флибусте появилась книжка про секреты математики. Я открыл. Начинается с пи. И автор сообщает, что он думает, что если учёные когда-нибудь докажут, что десятичная запись пи бесконечна, то, наверно, Вселенная бесконечна, а если нет, то нет. Вероятно, автор учился в школе. Слово "иррациональный" он не выучил, по крайней мере, его нет на этих страницах, и уж точно он не знает, что это такое.
no subject
Date: 2016-09-06 08:39 am (UTC)no subject
Date: 2016-09-06 08:39 am (UTC)no subject
Date: 2016-09-06 08:41 am (UTC)А можно про это подробнее? Где почитать?
no subject
Date: 2016-09-06 09:00 am (UTC)no subject
Date: 2016-09-06 09:34 am (UTC)А об американских хорошая статья в Википедии, начинается со слов: Syracuse, New York (...) is the largest U.S. city with the name "Syracuse".
no subject
Date: 2016-09-06 12:01 pm (UTC)no subject
Date: 2016-09-09 01:12 pm (UTC)no subject
Date: 2016-09-12 06:11 am (UTC)1. Хотел было сказать, что формула сильно отдает Рамануджаном, но увидел это имя и в статье по ссылке.