It&#39;s all in your mind

Ну да, наверное, нужно напирать на первые две фразы из моего диалога. Знак "+" обозначает не то же самое, если то же самое, то нельзя вставлять нолики / вычитать / сокращать и т.п.

From:

ооо, как мы дома бились из-за того видео чертового

From:

Видео не видел :-) Но кто победил?

From:

спрашиваешь! я, с твоими же аргументами:)

https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

From:

Ну вот они же тоже цитируют какие-то физические труды, которые используют этот результат с расширенным определением суммы. Мне интересно было бы понять, можно ли на пальцах где-то эту сумму увидеть. Чуть ниже мы уже говорим про эффект, открытый в Эйндховене (http://green-fr.livejournal.com/557116.html?thread=7147836#t7147836), подписывайся :-)

From:

почувствовала сейчас себя так, будто каким-то боком причастна к открытия:)

From:

Аргумент - это необходимость согласованности определений, но зачем нематематику эта согласованность? Можно хоть для каждого ряда определить сумму отдельно, например, для этого как отрицательную 1/12. Не все теоремы о суммах рядов в результате будут работать, так твой коллега все равно их не знает.

From:

Мне страшно спрашивать, где он учился. Боюсь (судя по его должности), на математика.
Мы вообще первое время думали, что он над нами стебётся. А только после того, как заметили,что он не по-детски обиделся, что его за идиота принимают, поняли, что он всё это серьёзно рассказывал.

From:

Да какая разница. Полно толковых и полезных людей, учившихся на математика, но ничего не понявших.

From:

Забыл, у кого видел: "Существует ли такой самолет, что он полетит, если понимать некоторые интегралы в смысле Лебега, но упадет, если в смысле Римана? Если и существует, я отказываюсь на нем лететь."

From:

Это пять! :-)))

From:

Это Хамминг: http://www.mast.queensu.ca/~andrew/notes/pdf/2007c.pdf

From:

класс!

From:

prokofyev.livejournal.com

Отлично!

From:

Не только в теории струн, есть такая штука, называется эффект Казимира, вполне экспериментально наблюдаемая. Трехмерный вариант сложный хотя тоже включает суммирование расходящихся рядов, но простейший одномерный вариант можно считать в том числе через аналитическое продолжение дзета-функции и соответственно через эту чудесную формулу (там одна двенадцатая так и остается ы ответе). В принципе в квантовой теории поля полно таких ситуаций, в теории ренормировок подобные (существенно худшие) прелести лезут на каждом шагу, но в конце часто оказывается вполне экспериментально проверяемый результат.
При этом на пальцах объяснить понятие аналитического продолжения практически нереально. Но если есть забавный результат полученный с помощью аналитического продолжения его можно дальше пытаться балды ради объяснять на пальцах, понимая что эти объяснения не имеют математического смысла. Но весело, игра такая.
Кстати меня удивляет, что куда более простой пример геометрической прогрессии используют куда реже:
1+2+4+8+16+...= -1
1+3+9+27+81+...=-1/2 и т.д.

From:

А можешь рассказать, как можно это наблюдать экспериментально. Я перечитал про эффект Казимира, но не вижу, где там можно увидеть эту сумму.

From:

Там ситуация такая: экспериментально наблюдается производная энергии вакуума по параметру (размер коробки). Сама энергия вакуума смысла не имеет и из модели получается бесконечной.
Вот например хороший вводный курс QFT:
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/two.pdf
Для энергии вакуума получается формула (2.33) в трехмерном случае, формула (2.36) в одномерном. Дальше можно действовать как автор, но есть и более элегантный способ через дзета-функцию.

From:

Отлично! Красота какая! Спасибо :-)

From:

Это не изменение понятия сложения, это приписывание ( как можно более однозначным образом) понятия суммы расходящимся рядам. На самом деле тоже делает перенормировка, то есть вся квантовая теория поля.

From:

И можно как-то на пальцах понять, насколько осмысленно приписанное значение? То есть, переопределить можно всё, что угодно, как угодно. Это определение явно осмысленно, оно где-то используется, оно полезно. Вот это хочется почувствовать.

From:

Осмысленность проявляется в том что ответ можно получить разными способами, и он один и тот же.

Рассмотрим более простой пример

1 - 1 + 1 - 1 .... Сумма этого несходящегося ряда "равна" 1/2, что не выглядит столь парадоксально. На уровне ряда это показывается (на самом деле все равно это не доказательство) как

1 - 1 + 1 -1 ... = 1 - ( 1 - 1 + 1 ... ) то есть x=1-x, следовательно x=1/2 Схожая прцедура с исходной задачей. правда ? (главное правило в обращении с 'improper series' - нельзя переставлять члены местами)

С другой стороны тот же ряд мы получим вычисляя интеграл 1/2 \int_0^\infty sin(x) dx если мы разобьем его на интервалы [0,pi],[pi,2pi] и т.д. На действительной оси интеграл неопределен, но мы можем аналитически продолжить синус в комплексную плоскость, повернуть контур, и получить 1/2. То есть наша манипуляция с рядом как то связана с аналитическим продолжением.

Кстати, тут же мы видим что \int_0^\infty cos(x) dx = 0

From:

Для развлечения, разбив интеграл от синуса на интервалы [0,2pi] + [2pi,4pi] можно задуматься над тем что

0 + 0 + 0 + 0 ..... = 1/2

:)

From:

ilya-dogolazky.livejournal.com

Ну это простое следствие из Теоремы Маяковского, доказывается делением на два. Можно и без синусов, интегралов и синхрофазатронов обойтись.

From:

Ну нам, кто без математического образования, через синхрофазатрон проще :)

From:

Это не осмысленность показывает, а только тот факт, что мы изначально взяли одинаковые гипотезы.
Такими манипуляциями можно ведь легко получить 1=0 (см. по моей ссылке или по твоим выкладкам ниже). Прибавим это к нашей сумме - выходит, что 1+2+3+4+... равен уже не -1/12, а 11/12.

Я под осмысленностью полагал "применимость", "практическую пользу".

From:

Практическуя пользу ? У меня этот интеграл от синуса через день встречается. Где то даже подпрограммка записана которая вычисляет что-то вроде \int_0^\infty sinh(x) * осциллирующая функция через рессумирование расходящегося ряда (угу, с ексопоненциально растущими членами). Нужна для вычисления коррелационной функции космического излучения в некоторых моделях вселенной с гиперболическим пространством.

From:

осмысленность = самосогласованность, непротиворечивость

1=0 возникает где угодно при оперирование с бесконечностями. Вопрос всегда - оперировать с бесконечностями согласованным образом, например получить тот же ответ что и вводя обрезание интеграла, применяя разные обрезания - получать одинаковый ответ, и т. д.

From:

В математике используют разные значки для операций, чтобы быстро показать читателю, какие свойства ожидать от операций. Например если от операции _не_ следует ожидать, что она ассоциативна, стараются использовать операции-скобки, такие как〚a, b〛для коммутаторов, скобок Пуассона и т.д., т.е. это операции вида BinaryTree[M] -> M, если операции ассоциативны (т.е. имеют вид List[M] -> M), то используются значки ·, ∘, •. Знаком + принято обозначать только операции, инвариантные относительно перестановок аргументов, т.е. операции вида Collection[M] -> M, наконец значками ∧ и ∨ принято обозначать операции, инвариантные ещё и относительно дублирования аргументов, т.е. операции вида Set[M] -> M (хотя тут есть исключение, значок ∧ в некоторых областях математики принято использовать для антикоммутативных операций).

Верно даже, что инвариантный относительно подстановок (+) всегда является обобщением обыкновенного сложения на натуральных числах, в том смысле что любое множество M с операцией + является естественным образом модулем над полукольцом натуральных чисел.

Так вот обобщение + на сходящиеся бесконечные последовательности оправдано тем, что оно инвариантно относительно перестановки элементов последовательности. Для расходящихся же последовательностей инвариантность ломается, это известный факт с несложным доказательством: для любого расходящегося ряда можно придумать перестановки, обращающие его в сходящийся ряд с какой угодно суммой.

Если же воспринимать запись "1 + 2 + 3 + 4 + ..." как сокращение для Σ(n : Nat) n, с тем свойством, что Σ(n : Nat) a(n) обращается в обыкновенную конечную сумму, если последовательность a(n) обращается в нуль почти во всех (т.е. кроме конечного числа) точках, то так конечно можно, но не нужно так делать, это ломает ценную нотационную конвенцию. Так-то да, из всех операций Σ обобщающих обыкновенные суммы на несходящиеся ряды, есть некоторые особенно ценные, связанные с перенормировками в КТП и дзета-функциями в математике, но нефиг называть это суммами, не суммы это нифига, это валюации рядов и так их и надо называть.

From:

А вы никогда не сталкивались с двойными суммами рядов, где нельзя менять порядок суммирования? При этом никто не будет спорить, что данный объект является суммой. Сумма должна быть коммутативной, ОК, но речь идет о перестановке конечного числа элементов. Когда начинаешь переставлять подпоследовательности сразу возникают сложности даже в существенно более простых (и хорошо определенных) случаях

From:

Двойные суммы никто не пишет через плюсик с многоточием. Моя претензия по-существу именно к использованию этого знака. Ну и двойные суммы рядов обычно стараются писать в две сигмы, а не в одну с двойным индексом, именно чтобы подчеркнуть указанное свойство. И точно также кратные неабсолютные интегралы пишут в несколько знаков интеграла, а кратные абсолютные (т.е. для которых теоремя Фубини-Тонелли или какой-то её подходящий вариант выполняется) — как угодно.

From:

Как только их не пишут если честно. Или другой пример: сходящиеся ряды без абсолютной сходимости:
1-1/2+1/3-1/4+...
Ряд сходится, конечные перестановки - сколько угодно, но просуммировать отдельно положительные и отрицательные члены нельзя. Так что растягивать инвариантность по отношению к любым конечным перестановкам на бесконечные перестановки - занятие опасное.

From:

Хорошо, ваша правда, пишут. Штука в том, что многие (включая меня) очень не любят, когда так пишут. :-)
По указанным выше причинам.

Если смириться в тем, что пишут, что 1-1/2+1/3-1/4+... без кавычек и оговорок, то я не вижу причин не писать, что 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12, это ровно на столько же “нечестно”.

Вообще конечно “сужение” инвариантности по отношению к любому действию группы симметрий до инвариантности к действию симметрий, ограниченному на компакт (или очень регулярному и быстро исчезающему в бесконечности, если наш носитель некомпактный) — это очень плодотворная геометрическая идея, исследованная пока совершенно неудовлетворительно. (“Удовлетворительно” я скажу только когда мы наконец поймём, что за зверь “интеграл Фейнмана”)
Однако наблюдается, что применение этой идеи к суммированию последовательностей очень плодотворно в контексте теории перенормировок, а в контексте УрЧП — к микролокальному анализу, в контексте вещественной прямой — семейство неабсолютных интегралов, строго сильнее интеграла Лебега, существенно использующих метрическую структуру и упорядоченность вещественной прямой, самыми известными из которых являются интеграл Хенстока-Курцвейля-Денжуа-Лузина-Перрона и ApSy-интеграл Томсона. И все три области выглядят как-то связанными с “интегралом” Фейнмана.

From:

Ну погоди, нельзя же и просто сказать "это не имеет никакого отношения к сумме, просто значки те же самые". Берём ту же историю с эффектом Казимира. Мы там считаем сумму по n от 1 до бесконечности. и каждый элемент этой суммы - это вклад в общий эффект частицы, у которой длина волны укладывается n раз между двух зеркал. То есть, мы суммируем вклад всех частиц, чисто интуитивно - это сумма, та самая, к которой мы привыкли. И то, что там ряд расходится, и "волшебным образом" получается отрицательное число - вот это вот непонятно. Непонятно, каким образом эта "сумма" соответствует реально наблюдаемой сумме.

From: