Нет, нельзя. В связи с этим я детям рассказываю такую историю. Представьте, что вы попали в прошлое, встретили там математика, скажем, Птолемея. Птолемей составляет тригонометрическую таблицу. Ему нужно вычислить cos(20°). Он знает что cos(3a)=4 cos³(a) - 3cos(a), и что cos(60°)=1/2. Вроде этого достаточно, чтобы найти cos(20°). Но как? "О какая, удача!" - думаете вы, - "Я как раз только что учил формулу Кардано. Я попал в нужное время, я смогу помочь бедному ученому, и показать каких высот достигла математика в будущем". Вы говорите Птолемею, что нужно решить уравнение: 4x³ - 3x = 1/2. Тут правда возникает проблема: в то время еще не изобрели алгебраической нотации. Поэтому понятия кубического уравнения не было, не говоря уже о понятие "формула". Но тем не менее Птолемею очень надо составить тригонометрическую таблицу, поэтому он готов вас терпеливо слушать, и изучать математику будущего. Вы рассказываете ему алгебру, формулу Кардано, по дороге вам приходится рассказать и что такое отрицательные числа. Наконец Птолемей все понял, и говорит: - Ну давай решим твоей формулой наше уравнение. Вы говорите: - Легче простого: подставим коэффициенты из уравнения в формулу и получим ответ: x = 1/2 (∛(1/2+√(-3)/2) + ∛(1/2+√(-3)/2)) Но тут Птолемей замечает, что тут есть квадратный корень из отрицательного числа. Он уже достаточно хорошо усвоил алгебру, чтобы понять, что такого числа не существует. Вы ему говорите: - Ах, да, я забыл сказать, что для решения кубических уравнений нам нужны не только отрицательные числа, но и комплексные числа. - Так расскажи, что это такое, о мудрец из будущего. Мы уже потратили много драгоценного времени. Я совсем забросил астрономию. Но если мы сможем решить это уравнение, я закончу свою тригонометрическую таблицу, и смогу применить ее в астрономии. Вы рассказывает Птолемею про комплексные числа. Птолемей оказался способным учеником - всего за пару недель он все усвоил. - Хорошо, квадратный корень из -3 равен i√3. Теперь нам нужно извлечь кубический корень из (1+i√3)/2. Как нам это сделать? - спрашивает Птолемей. Тут вы задумывайтесь. Действительно, как? Рисуете это число на комплексной плоскости. К счастью, вы вспоминаете, чтобы извлечь кубический корень из комплексного числа, нужно извлечь кубический корень из модуля, а аргумент поделить на 3. Ура! у этого числа модуль 1. Кубический корень извлечь очень просто - это 1. А аргумент тоже найти просто - это 60°. Значит аргумент кубического корня будет 20°. Вы подставляете этот результат в формулу, и радостно восклицаете: - Смотрите, как здорово: мнимая часть благополучно сокращается. Получается, что у этого уравнения одно действительное решение, и оно равно... (1/2)(cos 20° + i sin 20°) + (1/2)(cos 20° - i sin 20°). Aга, минуточку ... x=cos 20°! - Это и есть математика будущего? - спрашивает разочарованный Птолемей.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
no subject
Date: 2023-11-18 11:00 pm (UTC)Представьте, что вы попали в прошлое, встретили там математика, скажем, Птолемея. Птолемей составляет тригонометрическую таблицу. Ему нужно вычислить cos(20°). Он знает что cos(3a)=4 cos³(a) - 3cos(a), и что cos(60°)=1/2. Вроде этого достаточно, чтобы найти cos(20°). Но как?
"О какая, удача!" - думаете вы, - "Я как раз только что учил формулу Кардано. Я попал в нужное время, я смогу помочь бедному ученому, и показать каких высот достигла математика в будущем".
Вы говорите Птолемею, что нужно решить уравнение:
4x³ - 3x = 1/2.
Тут правда возникает проблема: в то время еще не изобрели алгебраической нотации. Поэтому понятия кубического уравнения не было, не говоря уже о понятие "формула". Но тем не менее Птолемею очень надо составить тригонометрическую таблицу, поэтому он готов вас терпеливо слушать, и изучать математику будущего. Вы рассказываете ему алгебру, формулу Кардано, по дороге вам приходится рассказать и что такое отрицательные числа.
Наконец Птолемей все понял, и говорит:
- Ну давай решим твоей формулой наше уравнение.
Вы говорите:
- Легче простого: подставим коэффициенты из уравнения в формулу и получим ответ:
x = 1/2 (∛(1/2+√(-3)/2) + ∛(1/2+√(-3)/2))
Но тут Птолемей замечает, что тут есть квадратный корень из отрицательного числа. Он уже достаточно хорошо усвоил алгебру, чтобы понять, что такого числа не существует.
Вы ему говорите:
- Ах, да, я забыл сказать, что для решения кубических уравнений нам нужны не только отрицательные числа, но и комплексные числа.
- Так расскажи, что это такое, о мудрец из будущего. Мы уже потратили много драгоценного времени. Я совсем забросил астрономию. Но если мы сможем решить это уравнение, я закончу свою тригонометрическую таблицу, и смогу применить ее в астрономии.
Вы рассказывает Птолемею про комплексные числа. Птолемей оказался способным учеником - всего за пару недель он все усвоил.
- Хорошо, квадратный корень из -3 равен i√3. Теперь нам нужно извлечь кубический корень из (1+i√3)/2. Как нам это сделать? - спрашивает Птолемей.
Тут вы задумывайтесь. Действительно, как? Рисуете это число на комплексной плоскости. К счастью, вы вспоминаете, чтобы извлечь кубический корень из комплексного числа, нужно извлечь кубический корень из модуля, а аргумент поделить на 3. Ура! у этого числа модуль 1. Кубический корень извлечь очень просто - это 1. А аргумент тоже найти просто - это 60°. Значит аргумент кубического корня будет 20°. Вы подставляете этот результат в формулу, и радостно восклицаете:
- Смотрите, как здорово: мнимая часть благополучно сокращается. Получается, что у этого уравнения одно действительное решение, и оно равно... (1/2)(cos 20° + i sin 20°) + (1/2)(cos 20° - i sin 20°). Aга, минуточку ... x=cos 20°!
- Это и есть математика будущего? - спрашивает разочарованный Птолемей.