Математика эпидемии

[green_fr]

Очень хочется поспособствовать распространению вот этого видео (спасибо за ссылку, Максим!), да и всего блога «3 blue 1 brown»:

Мой краткий пересказ на русском, с небольшим уклоном в разжёвывание для тех, кто болел в школе на математике :-)

Все мы слышали выражение «экспоненциальный рост», «растёт по экспоненте», но что означают эти слова, и откуда берётся экспоненциальный рост? Возьмём для примера нынешнюю эпидемию. По определению экспоненциальный рост некоего показателя — это умножение его на какую-то константу каждую единицу времени. Например, когда каждый день что-то вдвое больше, чем было вчера. В случае коронавируса, количество заражённых умножается каждый день примерно на 1.15 (другими словами, каждый день у нас на 15% больше больных, чем было вчера).

Экспоненциальный рост можно объяснить простой моделью: новые случаи заражения появляются благодаря уже имеющимся случаям, т.е. чем больше больных сегодня, тем больше людей они смогут заразить завтра. Обозначим N(d) — количество заражённых в день d, E — среднее количество контактов у человека в день, p — вероятность передать заразу при контакте. В таком случае количество заражённых на следующий день будет N(d+1) = N(d) + N(d)*E*p = N(d) * (1 + E*p). Вот он наш множитель, вот он наш экспоненциальный рост.

При помощи нашей модели можно по-другому смотреть на данные заражения по странам. Если в одной стране в 100 раз больше заболевших, чем в другой, то это может означать не лучший уровень медицины во второй стране, а просто факт, что первая страна вступила в заразу на месяц раньше. Примерно за такой срок экспоненциальный рост с коэффициентом 1.15 даёт стократный рост.

---

Это, очевидно, упрощённая модель.

Например, мы не учитываем возможность вылечиться. Эту возможность легко моделировать, предположив, что некая доля q заболевших лечится через t дней. То есть, нужно вычесть из общего количества N(d) — q*N(d-t). Видно, что эта поправка ничего существенно не изменит — за время выздоровления масштаб эпидемии успел измениться.

Мы также не учитываем факт возможности для заражённого человека встретить другого, уже заражённого человека. В видео этот вариант рассматривается: вместо экспоненты получается сигмоида, которая неотличима от экспоненты в начале, а потом перестаёт быстро расти, достигая 100% заражения всего доступного населения. Я не буду подробно останавливаться на этой части.

Мы не учитываем тот факт, что люди встречаются не со случайными людьми из всего населения земли, а всё время с одними и теми же: соседями, коллегами и т.д. В видео рассматривают вариант с кластерами и показывают, что малого количества путешественников между кластерами достаточно для того, чтобы конечный результат практически не отличался от нашей экспоненты.

---

Как же всё это может остановиться? Только, когда уменьшатся E и p. Вариант уменьшения p после того, как мы заразили всё население, мы уже рассмотрели, лично меня он не интересует. Какие ещё есть варианты? И вот здесь становятся понятными разнообразные меры наших правительств. Нам нужно изменить наше с вами поведение.

Уменьшить N — встречаться с меньшим количеством людей в день. Макрон вчера чётко сказал: никаких семейных встреч, никаких дружеских пробежек. Ничего, без чего можно пережить. Французские врачи с ним согласны, они замутили флешмоб #restecheztoi — буквально «сиди дома».

Уменьшить p — никого не трогать, чаще мыть руки, чихать в локоть, не лезть пальцами в рот / нос / глаза.

---

Дальше уже не перевод видео, а лично мои соображения.

Насколько все эти меры действенны? Ну вот снизим мы N*p с 1.15 до 1.05 — и что?
Тут снова вступает простая математика, на уровне калькулятора. Но настолько контринтуитивная, что я предлагаю всем проверить расчёты. Иначе не так вставляет.

С множителем 1.15 за каких-то 100 дней (то есть к концу июня этого года) количество больных вырастает в 1 000 000 (один миллион) раз. С множителем 1.05 — в 100 (сто) раз.
100 — это очень много. А 1 000 000 — это просто невообразимо. Если у нас останется 1.15, то планы на следующий год можно не строить. Если будет 1.05, то можно молиться на врачей, учёных и просто удачу. Так что, сидите дома и мойте руки. И расскажите об этом своим родным.

---

Если же вам по каким-то причинам кажется, что всё это происки каких-то хитрецов, которые хотят нажиться на спаде рынка — храните этот секрет для себя. Покупайте акции, инвестируйте, раз уж вам кажется, что таким образом вы сможете присоединиться к этим загадочным хитрецам. Но не рассказывайте об этом никому. И вам же хуже (а ну как все бросятся одновременно с вами покупать подешевевшие активы!), и нам (люди не поверят в серьёзность ситуации и выйдут из дому).

Истории же про то, какие именно спецслужбы создали вирус, и почему они выпустили его именно сейчас и именно в Китае, лично мне кажется достаточно безобидными. Я заинтересуюсь этими вопросами, когда мы победим эту эпидемию. Например, в случае, если будет ясно, что она была человеческого производства, чтобы не допустить такого в будущем. Но об этом я подумаю потом.

---

Возвращаясь к вопросу, когда всё это закончится — это уже не математика, а биология, здесь я некомпетентен. Может повезти, как в 2002 году, когда эпидемия остановилась на нескольких тысячах. Может не повезти, как в 1918 году, когда испанка заразила 500 миллионов человек (больше четверти всего населения Земли).
Дай бог здоровья учёным, ну и немного удачи нам всем.

То, где математика вступает вновь — это интерпретация прошедших событий. Можно ли сказать, что в 2002 году мы все облажались, поверив в риск, которого на самом деле не было? Мне кажется, что правильнее говорить, что мы поверили в риск, который на самом деле не реализовался.

Простой пример: представим, на Землю летит огромный астероид, но учёные не могут сказать достоверно, пролетит он мимо или врежется. В итоге мы все готовимся к столкновению — а астероид пролетел мимо. Можно ли говорить, что готовившиеся к катастрофе облажались? Это примерно так же, как считать облажавшимся купившего страховку, если у него в итоге не сгорел дом, он не сломал ногу, у него не умер ребёнок.
Можно говорить, что готовиться не к чему, что риска (астероида или вируса) нет вообще, или что их риск намеренно раздут. Но нельзя говорить о ненужности подготовки, если существовавший риск просто не реализовался.

Ну и — Штирлиц знал, что из разговора лучше всего запоминается последняя фраза, — если на нас летит астероид, и учёные говорят, что, сидя дома и моя руки, мы существенно увеличим вероятность того, что он пролетит мимо...

Comments

[igann.livejournal.com]

https://www.ft.com/content/a26fbf7e-48f8-11ea-aeb3-955839e06441

Вот здесь с данными от 16/03 говорят о 33% росте

То-есть если я правильно понимаю 60 миллионов французов будут больны Или уже переболеют к первому маю где то. Если карантин подействует - то ещё черкез месяц-полтора.

Думаю с 1.33 до 1.05 снижение мало вероятно. Но посидим посмотрим.

[igann.livejournal.com]

Ft денег хотят если по ссылке, но показывают если по первой ссылке гугла переходить

https://www.google.com/search?q=Coronavirus+tracked%3A+the+latest+figures+as+the+pandemic+spreads&rlz=1CDGOYI_enFR787FR787&oq=Coronavirus+tracked%3A+the+latest+figures+as+the+pandemic+spreads&aqs=chrome..69i57.6728j0j4&hl=en-GB&sourceid=chrome-mobile&ie=UTF-8

[green-fr.livejournal.com]

А почему тебе кажется невероятным снизить коэффициент? Лично у меня количество физических контактов сошло практически к нулю (осталась булочная и доставки). Ну и гигиена тоже явно не на том уровне, что до эпидемии.

[muh2.livejournal.com]

Ну и как всей этой математикой объяснить разницу в сценариях Китая и Италии? В Китае, заметим, карантин уже сняли.

А те, кто каждый год готовится к астероиду - конечно лажаются.

Ну и еще ближе - те кто покупают страховку, конечно лажаются. Если страховка не против катастрофеческих событий, а против чего-то повоторяющегося каждый год.

[green-fr.livejournal.com]

А в чём разница Китая и Италии? Я, если честно, не очень слижу за текущими новостями.

[green-fr.livejournal.com]

Про каждый год я тоже немного не понял. Ты явно на что-то намекаешь, но на что?

[janemouse.livejournal.com]

Я как раз слежу за развитием эпидемии в Китае и в Италии,
и попробую объяснить, почему в Китае эпидемия уже идёт на спад, а в Италии нет.
Как только в Китае поняли, что эпидемия растёт, они ввели очень жёсткие карантинные меры.
Намного более жёсткие, чем в Италии.

А в Италии люди свободно перемещались из зоны карантина, отправляли детей к бабушкам и тп.
Кроме того, в Италии исходно многие считали, что это "болезнь китайских старичков", и не верили, что может болеть обычный человек, не прилетевший из Китая.
В итоге люди, больные коронавирусом, приходили в б-цу, им говорили "у вас просто грипп", врач заражался, заражал других пациентов, и в итоге больницы в некоторых областях Италии в какой-то момент стали очагами распространения вируса.
А потом рост тяжёлых случаев вырос так, что больницы перестали справляться, не хватает аппаратов ИВЛ и врачей, и в итоге из-за этого такой рост смертности.

[leokand.livejournal.com]

Некоторые действия хуже бездействий. Дети пустыни как приплывали на Сицилию на надувных лодках, так и приплывают. И в гробу они видели все карантины.

В Москве закрыли кинотеатры и универы, но не закрыли детские сады и метро. Клоунада, короче.

[green-fr.livejournal.com]

Ну, с нарушителями закона по определению сложно управляться при помощи закона :-) Что ты тут сделаешь, если нельзя - а они плывут?

Метро я как раз понимаю, почему не закрывают. Тот же Макрон чётко сказал, что общественный транспорт - это в частности возможность доехать до доктора, если нужно. Другое дело, что параллельно нужно обеспечить ограничение других перемещений.
С садиками да, непонятно. Видимо, именно потому, что закрыть садики = перевести всех на работу дома = остановить экономику. А это страшно делать, я это прекрасно понимаю.

[igann.livejournal.com]

Вот тут ещё прекрасные модельки:

https://www.washingtonpost.com/graphics/2020/world/corona-simulator/

[green-fr.livejournal.com]

А ты можешь в двух словах рассказать? А то с Яшей Ганом я с удовольствием поговорю, а вот читать все статьи всех журналистов, да ещё и не понимая, будет ли у меня возможность как-то отреагировать, получить ответы на вопросы... На это у меня, наверное, времени не хватит :-)

[(Anonymous)]

> 100 — это очень много. А 1 000 000 — это просто невообразимо. Если у нас останется 1.15, то планы на следующий год можно не строить. Если будет 1.05, то можно молиться на врачей, учёных и просто удачу.

Про экспоненту вы всё правильно говорите. Но про планы на следующий год -- извините, чепуха какая-то. Да, вполне вероятно, что в ближайшие месяцы половина из нас этим вирусом переболеет. Просто не видно причин, почему бы эта эпидемия остановилась раньше. Ваше невообразимо много как раз и означает, что наступит этот финал (для большинства он будет счастливым). С конфайнментом можно этот финал оттянуть, но не отменить. На вакцину я бы в ближайшие месяцы не надеялся; и вечно сидеть по домам мы не сможем. Значит, придется выйти наружу и переболеть.

Похоже, что я принадлежу к vulnerable group. Из шкурных интересов мне выгоднее, чтобы эпидемия была долгой и сглаженной (свободные койки в реанимации, доступные машины ИВЛ). Но с вашим пафосом не согласен совершенно.

[green-fr.livejournal.com]

Ну да. Я, возможно, как-то слишком близко принял к сердцу сценарий, в котором несколько процентов населения Земли умрёт в течение одного года :-)

Я понимаю вариант "переболеем все, выжившие заменят убывших", и в принципе он не такой уж и ужасный, если не думать о собственных родителях, ну и всё такое прочее. Но мы же при этом не знаем (я не знаю), какая смертность будет при полном отсутствии работающей медицины. При работающей, пусть даже и перегруженной - мы видим Китай, Италию, да ту же Францию. А если одновременно болеют все? Врачи, электрики, булочники. Я не знаю, что будет. Поэтому и призываю максимально растянуть / замедлить эпидемию.

[alexanderr.livejournal.com]

про астероид это ты не в бровь, а прямо в глаз.
уже есть consipracy theory, что на нас действительно
летит астероид. а вирус это просто способ всех рассадить
по домам, ввести комендантский час, ввести войска
и спокойно контролировать население без паники.
потом, когда уже все рассажены на места и закреплены,
можно объявлять про астероид.

[green-fr.livejournal.com]

Объявлять о том, что на астероиде к нам с визитом едут наши настоящие правители-рептилоиды? :-)))

[nukakzetak.livejournal.com]

С "обычным" гриппом аналогично.

На тему коронавируса рекомендую мой скромный пост: https://nukakzetak.livejournal.com/12374.html

[green-fr.livejournal.com]

Да, подтасовка хорошая, известная. Ваша, впрочем, на том же уровне, когда вы сравнили подтверждённые случаи болезни Covid-19 с тяжёлыми случаями гриппа ;-)

[snyders.livejournal.com]

>Макрон вчера чётко сказал: никаких семейных встреч, никаких дружеских пробежек. Ничего, без чего можно пережить. Французские врачи с ним согласны, они замутили флешмоб #restecheztoi — буквально «сиди дома».

Просто семейные прогулки, пробежки или поездки на природу тоже запретили? Или, скажем, выгул собак?

[mbla.livejournal.com]

выгул собак и одинокие прогулки по соседнему лесу, если повезло, и он по соседству, разрешены. Я завтра собираюсь воспользоваться.

[green-fr.livejournal.com]

Если честно, я всю часть про административную ответственность пропустил, т.к. лично меня она слабо интересовала. Мне повезло, у меня собаки нет, зато есть лес в 50 метрах от дома, я уж точно могу туда добежать / там бегать, не встретив никого по пути :-)

Но я тоже хмыкнул, представив реальное выполнение этих правил в какой-нибудь семье с малыми детьми посреди Парижа, например. Совершенно непонятно, что им делать. Вчера буквально ездил в магазин - улицы пустые, ни пешеходов, ни машин, только пустые автобусы ездят. И пара мамаш с детьми двухлетками. Которым очень сложно объяснить, как это нельзя немедленно обнять другана, залезть пальцем к нему в глаз, облизать поручни горки - ну, всё, к чему ребёнок привык с самого рождения :-) Вот им да, им тяжело соблюдать эти новые правила.

[Раиса Козлова (from livejournal.com)]

Сынок!!!!
Я просмотрела видео и прочитала то, что ты написал. Мне было безумно интересно.
Я вспомнила и те два случая в предыдущие годы.
Это имеет для меня значение ещё и потому, что в моём круге "интернетобщения" многие ссылаются именно на те два факта, когда, якобы, нас специально дурачили, а ничего не случилось.
Теперь я смогу аргументированно отвечать...
Спасибо тебе.

Но меня волнует следующее.

Утверждают, что в случае заражения смерть практически неминуема из-за того, что для излечения потребуется аппарат искусственного дыхания. А их очень мало. Якобы 1 на 100000 человек. То есть, на миллионный город всего 10.

Что ты думаешь по этому поводу?

[green-fr.livejournal.com]

Не знаю, мама, я же не врач. У меня в лучшем случае та же информация, что и у тебя (а реально и того меньше, я очень мало читаю новостей).
При этом, наверное, не "в случае заражения", а "в случае осложнений" - это всё-таки разные вещи.

[dmpogo.livejournal.com]

В 2009 м свинной грипп заразил более миллиарда людей. В рамках канады простые мат модели говорят что этот вирус пойдет на спад к концу июля, заразив около четверти населения. Модели простые, но 10-20 процентов зараженности надо ожидать

[aneta.livejournal.com]

Я тут нарисовала модельку, может кому-нибудь интересно.
Симулит-2
Как распространяется зараза среди двумерных броуновских частиц в разных условиях (идею честно слямзила).
По ссылке несколько сценариев, а в конце можно и самому параметры покрутить.

[green-fr.livejournal.com]

Красава :-)
Мне вот эту ещё игрушку показали: https://www.meltingasphalt.com/interactive/outbreak/

[janemouse.livejournal.com]

Посмотри еще здесь
https://shvarz.livejournal.com/

[green-fr.livejournal.com]

Ой, это совсем не мой уровень. Да и область интереса не моя - я в биологии совсем чайник.