La Mathématique du Chat — парадокс Берри
Oct. 10th, 2019 04:58 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
green_fr
Прочитал La Mathématique du Chat Гелюка (это он делал выставку об искусстве глазами своего персонажа). Сама книга так себе, автор просто прочитал все публикации Гелюка, отобрал то, что так или иначе относится к математике и разложил по категориям. Ценность книги по отношению к оригинальным альбомам близка к нулю, но почитать про Кота всегда приятно. В частности я нашёл себе футболку мечты (справа). Подпись: «вы всегда можете на меня рассчитывать» (по-французски звучит в точности так же, как и «считать на мне»).Встретил в книге парадокс Берри. В двух словах, мы отталкиваемся от некоего конечного словаря естественного языка. Поскольку в нём конечное количество слов, из него можно составить конечное количество фраз ограниченной длины; предположим, состоящих из менее 20 слов (оставим в стороне морфологию, а также слияние слов для образования новых — предположим, что у нас в словаре есть все формы всех возможных слов).
Мы можем попытаться описать получаемыми фразами некоторые натуральные числа. Например «пять факториал» — это 120. Очевидно, что конечным набором фраз невозможно описать бесконечное количество чисел. То есть, какие-то числа невозможно будет описать фразами короче 20 слов. Зададимся вопросом — какое минимальное число нельзя описать подобными фразами? Предположим, что мы нашли это число. Почему мы не можем описать его фразой «самое маленькое число, которое нельзя описать фразой из менее 20 слов»?
В книге этот парадокс цитируют после картинки с Котом, который говорит «Возьмём два предмета, не имеющих ничего общего. Но у них общего уже тот факт, что у них нет ничего общего». Издалека напоминает «отсутствие повода — это тоже повод», и разбирается примерно так же. Когда мы говорим «ничего общего», мы сравниваем предметы. Сравниваем их мы по некоторому, заранее определённому набору признаков. По этому набору у них нет ничего общего. После чего мы вводим новый признак — отсутствие пересечений в предыдущем списке признаков. И по этому признаку у наших предметов очевидное совпадение.
Примерно так же разбирается парадокс Берри — для того, чтобы определить число словами, мы сначала должны дать какие-то словесные определения математике. Например, определить слово «факториал» для моего примера. В рамках этих правил мы можем определять слова фразами. А фраза «самое маленькое число, которое нельзя описать фразой из менее 20 слов» пока ещё не определена. И может ли она быть определена — это тот ещё вопрос.
На самом деле, не может, так как это ещё одна вариация парадокса Рассела (он же «парадокс лжеца», который в самой простой своей форме сводится к «эта фраза неверна»). Что само по себе не так удивительно, если учесть, что парадокс Берри сформулировал тоже Бертран Рассел :-)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2019-10-10 03:09 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-10 03:13 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-10 03:21 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-10 07:24 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-10 07:37 pm (UTC)Драконов (и даже котиков) можно исключить, но без достаточно подробной лингвистики вы не обойдётесь.
no subject
Date: 2019-10-11 07:47 am (UTC)Первое число, которое нельзя описать двумя числительными - 121 (если вдруг кто-то найдёт - "одиннадцать квадрат" не считается, у нас нет слова "квадрат" - переиграем на 122). Можно ли его описать как "X 3"?
Возражение, что условие задачи не описано нашим же урезанным языком тоже не проходит - условие по-русски, но оно звучит именно как "описать фразой из 2 слов указанного словаря". Словарь определён. Смысл слов тоже. Или я чего-то не вижу?
no subject
Date: 2019-10-11 08:26 am (UTC)Ваш "язык" оказался просто набором слов, смысл которому вы придаёте посредством внешнего (в данном случае, русского) языка. Внутри вашего языка нет даже слова "меньше", так что у X смысл отсуствует.
Если действовать извне этого языка, то получится, что вы объявили, что X -- это 121, и в то же время X -- это не 121. Естественный язык вполне допускает такое ("Я получил много денег. Но всё равно у меня денег мало.") С точки зрения математики, такого X не бывает.
no subject
Date: 2019-10-11 09:52 am (UTC)Это в точности тот же механизм, что в шутке с "ничего общего" - мы сравнили по определённому списку критериев, а потом добавили новый. Так и здесь: мы определили некий словарь фраз, а потом добавили новую. Парадокс виден только в естественном языке, в котором мы не видим момента добавления нового критерия. Нам кажется, что ответ на X (его определение) известен заранее.
no subject
Date: 2019-10-11 10:59 am (UTC)Кстати, а вдруг эти ваши числа -- шестнадцатиричные? Ничему в "языке" это не противоречит.
no subject
Date: 2019-10-11 01:39 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-11 05:57 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-12 01:33 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-12 03:40 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-12 03:58 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-12 04:42 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-12 07:31 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-12 07:48 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-13 10:10 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-13 08:16 pm (UTC)как ходит X в шахматахкакое число можно назвать X?no subject
Date: 2019-10-14 08:07 am (UTC)То есть, у "X три" есть смысл "121", пока мы считаем "фразы короче трёх слов, не учитывающие X", и смысл теряется, как только мы считаем "фразы короче трёх слов, учитывающие X".
no subject
Date: 2019-10-14 10:52 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-10 04:07 pm (UTC)Этот парадокс можно, как мне кажется, повернуть по-другому: полученное противоречие просто доказывает, что такого языка не существует.
no subject
Date: 2019-10-10 07:25 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-10 08:56 pm (UTC)А. Предположим, что существует язык удовлетворяющий следующим свойствам:
1. Имеющий конечный словник: «Поскольку в нём конечное количество слов, из него можно составить конечное количество фраз ограниченной длины».
2. Фразами (последовательностями слов) этого языка можно описывать натуральные [как в оригинальном изводе парадокса] числа: «Мы можем попытаться описать получаемыми фразами некоторые числа.»
3. В словник этого языка входят, в частности, следующие слова: самое, маленькое, число, которое, нельзя, описать, фразой, из, менее, 20, слов.
Покажем, что такого языка не может существовать.
Действительно, конечным набором фраз невозможно описать беконечное количество чисел, какие-то натуральные числа невозможно будет описать последовательностями, состоящими менее чем из 20 слов. Множество таких чисел, будучи подмножеством всех натуральных чисел, не более чем счётно и мы можем обоснованно предположить, что среди членов этого множества можно найти минимальный элемент. [Обозначим его ē и будет разумным предположить, что ē-1 уже будет входить в подмножество натуральных чисел, которые можно описать последовательностями, состоящими менее, чем из 20 слов].
Отсюда следует, что „самое маленькое число, которое нельзя описать фразой из менее 20 слов“ можно описать фразой из менее 20 слов, что очевидным образом является ложным утверждением. Так как из истинной посылки не может получиться ложного следствия, наше исходное предположение о существовании языка, удовлетворяющего вышеописанным свойствам 1–3, является ложным.
Б. Парадокс в вашей формулировке
не содержит указания на натуральность рассматриваемых чисел, что несколько упрощает процедуру его разрешения: самого маленького числа, которое нельзя описать фразой из менее 20 слов, просто не существует. Например, среди произвольного несчётного множества вещественных чисел (а множество всех вещественных чисел, которые нельзя описать фразой из менее 20 слов, очевидным образом не является счётным) не обязательно будет существовать наименьшее [а для других видов чисел вообще не существует процедуры сравнения (что больше: мнимая единица или пять?).]
no subject
Date: 2019-10-11 07:52 am (UTC)Б. Да, конечно, натурального числа - допишу немедленно в пост :-)
no subject
Date: 2019-10-11 08:10 pm (UTC)Что касается того, что наш русский язык удовлетворяет условиям 1–3, то это, вообще говоря, неочевидно. Он, например, может не годиться для описания произвольных натуральных чисел или, если он годится для такого описания, иметь бесконечный словник (например, мы будем вынуждены признать все натуральные числа отдельными словами) или при таком описании нельзя будет пользоваться определёнными словами из словника (например, «20», «нельзя» и тп).
no subject
Date: 2019-10-11 08:13 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-12 01:38 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-12 01:35 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-12 01:37 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-13 11:25 am (UTC)Если все натуральные числа входят в составл лексики одним словом каждое, то для описания любого натурального числа достаточно фразы из одного слова. Тогда разбираемый парадокс не возникает.
no subject
Date: 2019-10-13 12:31 pm (UTC)no subject
Date: 2019-10-11 03:56 am (UTC)Не так. Но написать подробно сейчас нет возможности.
no subject
Date: 2019-10-11 07:53 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-11 10:09 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-11 04:42 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-11 07:54 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-11 07:46 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-11 07:57 am (UTC)А необходимости всего этого нет. Уж тем более для существования математики или ещё чего. Простое упражнение на логику.
no subject
Date: 2019-10-11 08:20 am (UTC)Простой пример: мы можем сказать «красный» (rouge, red, rosso, 红色 и т. д.) — на бытовом уровне этого достаточно. Однако, если ты дизайнер или маляр тебе придётся использовать иной инструментарий (RAL, CMYK и т. д.), поскольку существует огромное количество красных цветов и языковых средств недостаточно.
Или, мы можем дать достаточно развёрнутое, казалось бы, описание: «высокий седовласый старик с голубыми глазами и окладистой бородой», но если ты сыскарь, тебе придётся пользоваться иным инструментарием (фоторобот), если же ты генетик — ещё более сложными механизмами.
no subject
Date: 2019-10-11 09:45 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-11 11:02 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-12 08:37 pm (UTC)Для меня они были поводом для диалога, привык к такому
no subject
Date: 2019-10-13 10:11 am (UTC)no subject
Date: 2019-10-13 10:20 am (UTC)