Геометрия Dobble

[green_fr]

В mathcamp_at papa_lyosha рассказывал детям %subj%, надо срочно законспектировать, пока не забыл.
Что такое Dobble — это настольная игрушка с крайне простыми правилами. Есть колода карточек, на каждой карточке есть 8 картинок. Множество вариаций правил, самый простой вариант, когда карточки выкладываются по две, и нужно найти картинку, которая есть одновременно на обеих карточках. Собственно, карточки так и сделаны, чтобы у каждых двух карточек всегда была общая картинка, и только одна. Возникает вопрос — как делать такие карточки? Есть тривиальный вариант, когда у всех карточек есть одна общая картинка, а остальные картинки все разные, но мы не будем об этом варианте. Как сделать «нормальную» короду Dobble?



Сначала Лёша предложил сделать колоду карт с тремя картинками. Достаточно быстро все нарисовали что-то в духе 1-2-3 (одна карточка, на которой находятся картинки №№ 1, 2 и 3), 1-4-5, 1-6-7, 2-4-6, 2-5-7, 3-4-7, 3-5-6. Легко проверить, что правило общей картинки выполняется, и что больше в эту колоду нельзя добавить ни одной карты. А дальше?

А дальше он рассказал о том, как по-разному можно воспринимать геометрию. От детского восприятия «картинками», когда «перевёрнутый треугольник» не считается треугольником, потому что он перевёрнутый. Потом идёт понимание свойств: 3 угла = треугольник. Потом связи этих свойств: 3 угла = 3 стороны, а то и 180°. И так далее, последним этапом идёт полная абстракция, когда ты рассматриваешь геометрию как некую систему, полностью оторванную от «детского» интуитивного представления. Когда у тебя определены некоторые концепты (точка, прямая) и их свойства, и ты оперируешь этими свойствами, не апеллируя к визуальным образам. Точки могут быть всем, чем угодно, прямые тоже. Например, пускай карточка Dobble — это точка в нашем пространстве. А картинка — это линия. И пусть «точка лежит на прямой» обозначает «на карточке есть картинка». Что мы можем сказать об этой геометрии?

Попытаемся понять, что за аксиомы у нас могут быть в этой геометрии. Возьмём для начала аксиомы евклидовой геометрии (на этом месте я узнал, что наша привычная евклидова геометрия была переопределена ещё в XIX веке Гильбертом, и современное её определение состоит из 20 аксиом, а не 5, как мне казалось из школы), выкинув из них всё, что касается порядка, расстояний и углов (не определённых в нашей геометрии), а также стереометрии (было бы интересно попытаться распространить Dobble на большее количество измерений):

1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.
2. Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.
3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
4. Пусть a есть произвольная прямая и A — точка вне её; тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, можно провести не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей a.

Побалуемся с этми аксиомами.



1. Начнём с двух точек A и B, через которые проходит прямая 1.
2. У нас должна быть как минимум ещё одна точка, не лежащая на прямой 1 — пусть это будет точка C.
3. Через точку C должна проходить прямая, не пересекающая прямую 1 — прямая 2.
4. Через A и C должна проходить прямая — прямая 3.
5. Через точку B должна проходить прямая, не пересекающая прямую 3 — прямая 4.
6. Вопрос, пересекает ли прямая 4 прямую 2, отвечается ограничением аксиомы 4 — если бы прямые 2 и 4 не пересекались, то через точку C проходило бы две прямые, не пересекавшие прямую 4. То есть, пересекаются — назовём эту точку D.
7. Через B и C должна проходить прямая — прямая 5.
8. Через A и D должна проходить прямая — прямая 6.
9. Вопрос с пересечением прямых 5 и 6 не так прост, как аналогичный вопрос выше. Они могут пересекаться, и тогда мы получим ещё одну точку, но нам она не только не нужна, но и в нашу игру она с трудом вписывается — пока что у нас получались точки, через которые проходило ровно 3 линии (в переводе на Dobble: на каждой карточке по 3 картинки). Поэтому, положим, что они не пересекаются (если сложно продолжать — как же они могут не перескаться?! — представьте себе, что прямая 5 лежит выше картинки, а прямая 6 — ниже).

Таким образом мы получили пространство, описывающее колоду Dobble из 4 карт с 3 картинками. Прежде, чем искать оставшиеся 3 карточки, поиграем с этим пространством.
Сначала определим «пучок параллельных прямых» — это все параллельные друг другу прямые. В данном примере у нас 3 пучка по 2 прямых: 1-2, 3-4 и 5-6 (последний пучок может вызывать недоумение, но мы же находимся на абстрактном уровне восприятия геометрии — эти прямые не пересекаются, значит они параллельны).
Во-вторых, посмотрим, что произойдёт, если у нас будет не 2 точки на прямой, а, скажем, 5. Аналогичными построениями мы очень быстро построим решётку 5×5 точек с 6 пучками по 5 прямых. Первый пучок — горизонтальные линии. Второй — вертикальные. Чтобы представить себе третий пучок, проще всего свернуть 5×5 в цилиндр (например, склеив левый край с правым) и нарисовать диагонали (например, в том же направлении, что и прямая 5 на предыдущем рисунке). Если мы снова плоско разложим 5×5, то у нас одна диагональ останется целой, а остальные разорвутся на две части — наподобие того, что произошло с прямой 6 на предыдущем рисунке. На следующем рисунке я оставил только 5×5 точек, раскрашенных в цвета прямых этого пучка. В этот момент, как мне кажется, должно окончательно прийти понимание, что эти прямые — параллельные.



Четвёртый пучок получается точно так же, только угол наклона диагоналей больше — они идут как бы не ходом шахматного слона, а ходом шахматного коня. Пятый и шестой пучки продолжают эту же логику — с каждой колонкой они поднимаются не на 1 клеточку (пучок 3), и не на 2 (пучок 4), а на 3 и 4 соответственно (для фанатов это можно заменить на тот же ход коня, только вниз; и на диагональ, тоже вниз).

Таким образом, если посмотреть на пространство с прямыми, на которых 7 точек (то есть, с точками, через которые проходит 8 прямых — это определение стандартной колоды Dobble в наших терминах), то у нас должно получиться 49 карточек. А в колоде их 55. Точно так же, как и в простом примере выше, нам явно не хватает карточек.

Для того, чтобы найти недостачу, вернёмся к пространству с двумя точками на прямой. И изменим каждый пучок параллельных прямых таким образом, чтобы эти прямые пересекались «на бесконечности». Таким образом мы получаем точки G, E и F. Которые мы можем (и должны даже) соединить новой прямой — прямой 7. Легко видеть, что построенное нами пространство совершенно эквивалентно тому примеру Dobble, с которого мы начинали: 7 карточек, 7 картинок, на каждой карточке по 3 картинки.



Аналогичное рассуждение приводит нас к тому, что в пространстве с 7 точками на прямой (то есть, с 8 картинками на карточке — стандартный Dobble) можно сделать 57 карточек: 49 карточек из решётки 7×7, плюс 8 точек «на бесконечности», соответствующих 8 пучкам уже не столь параллельных прямых. А на колоде написано «55 карт». Вопрос: какие именно карты не доложили в нашу колоду?

В этот момент Лёша достал каждому по колоде Dobble и предложил нам найти недостачу. Достаточно мозголомительная процедура, но в итоге все смогли разложить свои колоды так, что стало очевидным, какие карты можно было бы туда добавить. Сумасшедшее удовольствие!

Параллельно Лёша рассказал, что фанаты дозвонились-таки до автора игры, который подтвердил, что да, конечно же их там должно быть 57, а почему издатели кладут 55 — он не в курсе. После чего мы нашли 3 версии — все 3 мне кажутся неправдоподобными, но лучшего я не знаю:
1. На кородке надпись «55 карт» выглядит круче, чем «57 карт».
2. На листе помещается определённое количество карт, часть из них уходит под описание правил, на игру остаётся 55.
3. Количество карт не должно быть чётным, иначе могут быть ничьи при игре вдвоём. Аналогично, лучше, чтобы количество карт не делилось и на 3.

---

Умные люди в этом месте говорили слова проективная геометрия, но мне они ничего не говорят (это мы не проходили, это нам не задавали). И что точки в нашем примере можно легко заменить прямыми (точка — картинка, прямая — карточка) — умом я это понимаю, но примеры не рисовал.

---

Update: оказывается, Лёша это уже описывал в ЖЖ, 7 лет назад :-)
Update: рассказал коллегам на работе. Попутно выяснилось, что есть детская версия Dobble (спасибо winnaloushe), в которой вместо 31 карточки - 30. Все наши аргументы насмарку :-)

Comments

[wildest-honey.livejournal.com]

Спасибо! Я всё пропустила и жалела, а ты разжевал!

[ln-kwah.livejournal.com]

Про недостающие карточки - там случилась смена геометрии. Если мне склероз не изменяет с «аффинной» на ту самую «проективную». Одна из аксиом была беспощадно выкинута и заменена на более подходящую. Детали не помню. У супруги должна быть фоточка доски с правильной аксиомой...

[green-fr.livejournal.com]

Ты знаешь, мне показалось, что вся эта история с геометрией, в данном случае она была просто ступеньками,ч тобы прийти к нужному нам результату. Аксиома, которую Лёша выкидвал, чтобы прийти к 57 карточкам - непересечение параллельных прямых. То есть, сначала он работал с "пучками", в этот момент детские мозги плавились от переопределения параллельных прямых на квадрате. А потом он отменил их параллельность - и в этот момент мозги плавились от точек "на бесконечности". Добавить ещё определение прямой, на которой не бесконечное число точек - тоже, нам с тобой вполне очевидный шаг, но я верю, что и тут детей мы могли потерять. Можно было всё это сделать одним шагом - определим наш мир следующим образом, - но это было бы сложно. Отсюда и жонглирование набором аксиом, чтобы подвести к результату постепенно, выдавая порции, которые реально переварить.

[ln-kwah.livejournal.com]

А мне показалось полезным. Ну, и для полноты картины и связи разных геометрий с тем самым добблем я бы лично упомянул этот промежуточный шаг. Особенно про формальную (абстрактную) проверку аксиом и финт про то, что добавленная аксиома выполняется, потому, что одна из проверенных аксиом суть похожа.

Можно ещё, конечно, рассказать, что детей мы таки в процессе растеряли. Надеюсь, что построение алгоритма поиска недостающих картинок всё-таки им запомнилось и показало применимость на практике не пойми откуда появившейся абстрактной геометрии.

[papa-lyosha.livejournal.com]

Смена геометрии не может объяснить 55 карточек. В аффинной геометрии 49 точек. Поэтому если бы карточек было 49, то можно было предположить, что создатели игры пользовались аффинной геометрией. Но так как карточек больше 49, остается только предположить, что причины были не математические.

[stanika.livejournal.com]

Мне кажется, что третий довод очень весомый!

[papa-lyosha.livejournal.com]

Спасибо! Ты всё объяснил лучше чем я. И картинки хорошие. Кстати последяя картинка (где 7 точек и 7 прямых) называется плоскость Фано. Ее можно рисовать чуть более симитрично:

[green-fr.livejournal.com]

Это не я лучше объясняю, а у меня аудитория проще :-)
Ты - герой, хотя бы потому, что какие-то дети таки поняли что-то к концу лекции!