Задачка с рекурсией

[green_fr]

Кстати о красивых формулах: на учёбе у нас была задачка с функцией средней продолжительности жизни, определённой следующей формулой: f(x+f(x))=cf(x).
Оставим на минуту осмысленность такой формулы, вопрос: как найти f(x)?
Преподаватель выкрутился через максимальный возраст таблицы смертности, то есть положив известным некую ω (предельно возможный возраст), такую что x+f(x+f(x+...))=ω.
Я был настолько возмущён таким предположением, что не уследил за выкладками, то есть даже их не могу повторить. Но кто-нибудь вообще видит более приличное решение такой задачи?

Comments

[birdwatcher.livejournal.com]

Если предположить, что f аддитивна, то сразу видно, что f(x)=(c-1)x является решением!

[green-fr.livejournal.com]

Ага, а ещё есть f(x)=const при c=1 :-)
Вопрос - как решать такие уравнения в чуть более общем случае.

[anjey.livejournal.com]

Максимальный возраст - 120 лет.

[green-fr.livejournal.com]

Именно так :-) Ты тоже на ночь таблицы смертности перечитываешь? :-)))

.

[kkk-ddd.livejournal.com]

когда евреи поздравляют с днем рождения, пожелание переводиться как: "До 120-ти"

[green-fr.livejournal.com]

Смотря что ты подразумеваешь под рекурсией. Тут функция в одной точке определена через значение этой же функции в другой. Как классическое введение в рекурсию - факториал, который f(n)=n*f(n-1).
Здесь проблема в том, что плюс к рекурсии ещё и смешение двух координат, параметра и значения.

[p_govorun.livejournal.com]

Вот решение для |c|<1 (предполагается, что f непрерывна).

Доказываем по индукции что f( x + f(x)Σⁿ_k=0 c^k ) = cⁿ⁺¹ f(x)

Устремляем n к бесконечности, получаем f( x + f(x)/(1-c) ) = 0

Функция x + f(x)/(1-c) непрерывна. Если она не постоянна, то её область значений включает в себя некоторый отрезок. На этом отрезке f(x)=0. Отсюда следует, что f=0 тождественно.

Если же x + f(x)/(1-c)=a, то f(x)=(1-с)(a-x) . Других решений нет.

[green-fr.livejournal.com]

Это и есть решение профессора, меня смущает тот факт, что его невозможно (я не вижу как) обобщить. Т.е. стоит добавить какое-нибудь +2 справа - и всё.
Я не претендую на абсолютно общее решение, но хоть какие-нибудь более-менее общие методы. Как для интегрирования: абсолютно всё не интегрируется в аналитическом виде, но какой-то набор инструментов есть. Так и тут - как пытаться решать такие задачи в общем? Как называется решающая их наука?

[p_govorun.livejournal.com]

А никак, по-моему. И в этом есть своя прелесть :-)

Мне когда-то попадалась книжка про функциональные уравнения, и там была, в основном, куча примеров, типа вот этого.