Обзор прессы : Pour la science / Jeux mathématiques

[green_fr]

Второй специальный выпуск Pour la science, который я прочитал от корки до корки (первым был взятый в библиотеке выпуск 2003, кажется, года про методы передачи языка - ищу, кстати). В половине статей - радость узнавания каких-то читанных уже книг: от Маритна Гарднера с Кэроллом до около-олимпиадных задачек.

Статья про аналоговые автоматы для решения математических задач. Куча всякого бреда типа сортировки макаронами (каждому числу поставим в соответствие макаронину той же длины, что и число, потом соберём макароны в кулак и стукнем нижним основанием об стол), но есть и перлы. Например, задача: найти две наиболее удалённые друг от друга точки графа. Решение:
- сделаем граф из верёвочек;
- возьмём его в руку за произвольный узел, позволив верёвочкам свободно свеситься;
- переберём в другую руку за нижний узел;
В начале кажется, что итерацию нужно повторять несколько раз, но двух взятий в руки оказывается достаточно.

В конце другой статьи (о шифровании данных) упомянули наличие всех написанных и ненаписанных романов в числе пи. Никаких выводов, впрочем, делать не стали, просто так, припугнули читателя.

В той же статье о шифровании рассказали об индексе Фридмана. В двух словах: посчитаем частоту каждой буквы сообщения. Сумма частот, очевидно, равняется 1. А вот сумма их квадратов (собственно, индекс Фридмана), оказывается, может много о чём рассказать. Если шифр "простой", т.е. каждая буква всегда заменена на один и тот же символ, то, очевидно, сумма квадратов частот будет соответствовать сумме квадратов частот букв нормального языка (0,778 для французского). Если же каждая буква может быть заменена на более чем одну букву, то индекс должен быть меньше, приближаясь к индексу "шума" - случайной последовательности букв алфавита (0,0385 для французских 26 букв). Соответственно, можно проверять гипотезы о длине шифра, проверяя каждый раз соответствующий индекс.
Гениально! Сколько в детстве шифровал/расшифровывал всякие "секретные" сообщения, и был уверен, что стоит сделать ключ хотя бы в 2-3 буквы, и расшифровка "на пальцах" (как в "Пляшущих человечках" или "Золотом жуке") станет невозможной!

Кстати об Эдгаре По - продолжением описанной Анькой истории была просьба принести томик Эдгара По - подлец Гарднер™ походя сослался на его рассказ "Похищенное письмо". Чисто так, для иллюстрации бесперспективности рассуждений "...но он думает, что я подумаю, что он подумает... а значит я думаю..."
За что вот люблю таких авторов - заставляют поддерживать какой-то минимальный уровень, книжки читать.
Рассказ оказался. замечательный, Эдгара По надо почитать Построение рассказа напомнило нашу дискуссию о Фред Варгас: разгадку дали чуть ли не на второй странице, а потом ещё страниц 20 с трубкой во рту у камина разглагольствовали об устройстве мира, и вообще, как оно там того всё. Детектив типа.

Спасибо, кстати, dalvadorez за раздупление меня. Дня через два я, наконец-то, понял, если кому-то ещё интересен ответ (мы там постепенно перешли на личности в e-mail), могу оформить с картинками.

Кстати о картинках. Очень интересная мне тема - оценка нужности/достаточности информации в задаче. Применительно к реальному миру (читай: программированию) имеет смысл умение оценить достаточность данных в задаче, и по возможности описать (спросить) недостающие данные. В математике (подраздел: олимпиадная математика) есть возможность перевернуть всё с ног на голову и оперировать фактом заведомого наличия решения у задачи.

Пример (картинка слева): два концентрических круга, проведена хорда к внешнему кругу, являющаяся касательной к внутреннему. Дана длина этой хорды, требуется найти площадь "шайбы", т.е. разницу площадей двух кругов.

В реальном мире человек бьётся головой об стенку, доказывает теоремы и рано или поздно получает ответ. "Олимпиадный" человек может сказать себе: раз мне дали такую задачу с такими условиями, значит она имеет решение. Раз мне не дали радиус внутреннего круга (и вывести его не имеется никакой возможности), значит от него ничего не зависит, и ответ будет одинаков при любом его значении. Ну так положим его равным 0, хорда становится диаметром внешнего круга, площадь шайбы - его площадью. Очевидно, ответ правильный.

И наоборот - избыточная информация замусоривает мозг. Например (картинка справа) дана сторона квадрата AB = 6 см., через центр проведены две перпендикулярные линии, дан размер CX = 1,5 см. Найти площадь красной фигуры. Если бы не была дана длина CX, нормальный человек сразу бы заметил, что искомая площадь равна четверти площади квадрата. А так - на автомате - начинает что-то считать.

P.S. Рисовал картинки, выучил язык SVG - гениальная штука для простеньких иллюстраций! Надо бы только понять, как проще вставлять результат в ЖЖ - прямым текстом, похоже, не пойдёт, picasa тоже SVG не понимает (пришлось конвертировать в PNG). Никто с похожими задачами не сталкивался?

Comments

[birdwatcher.livejournal.com]

Я слышал, раньше для решения дифференциального уравнения собирали электрическую схему, сила тока в которой удовлетворяет данному уравнению, и измеряли ее.

Еще можно центр масс палки найти, положив ее горизнотално на два пальца, а потом приблизив пальцы вплотную друг к другу.

[green-fr.livejournal.com]

Про центр масс писали. А также про среднее арифметическое методом соединяющихся сосудов, линейную регрессию на плоскости через вбитые в доску гвоздики, планку и кучу резиночек и многое другое :-)
А про дифуры - смахивает на определение через определение. Эти уравнения, небось, надо было решить, чтобы понять, какой ток в этой схеме потечёт...

[birdwatcher.livejournal.com]

О, еще вспомнил физическое доказательство теоремы о том, что у выпуклого многогранника центр тяжести проецируется на одну из граней: иначе бы он безостановочно переворачивался, что противоречит закону сохранения энергии.

[green-fr.livejournal.com]

Замечательно! Но это скорее для другой статьи - "гениальные доказательства", в которой собрали вот такие вот теоремки, которые можно сделать очевидными, выйдя за рамки первоначальной науки. В основном - переходом из 2D в 3D. Например, если правильный шестиугольник (равносторонний с углами в 120°) уложить правильными ромбами (аналогично) одинакового размера, то ромбов каждой из трёх возможных ориентация должно быть одинаковое количество. Доказательство через "представим, что это проекция куба, наполненного маленькими кубиками" :-)

[timasan.livejournal.com]

Да нет как раз схема и есть решение дифура. Проще ее спаять, чем решать на бумаге.

[green-fr.livejournal.com]

Это я понял, но кому понадобилось решать этот дифур? Кроме академической ценности он даёт ещё что-либо, помимо предсказаний силы тока? :-)

[timasan.livejournal.com]

До появления доступных персоналок людям знакомым с паяльником было проще дифур "спаять":)
Сейчас используют энтузиасты для решения специфических или гибридных задач в пакетах изначально предназначенных для расчета электронных схем:)

[muh2.livejournal.com]

На военной кафедре стояли эти самые аналоговые компьютеры. Например. Они ж почти по определению быстрее цифровых.

[anjey.livejournal.com]

Насчет последнего квадрата, площадь определил сразу после вопроса, без проблем. В 91 году была похожая картинка на вступительных в заочку МГУ. Решение там изобилировало : "Исходя из общей симметрии задачи..."

[green-fr.livejournal.com]

Ну да, тут у каждого свой мозг. У меня, например, сначала мозг пытается понять достаточность данных, т.е. я прикидываю, "шевелится" ли конструкция. Т.е. в первой задаче очевидно "шевелится" (существует более одной конфигурации, удовлетворяющей правилам) - надо думать. Во второй - очевидно "не шевелится". Т.е. очевидно считается. Всё, мозг переходит к следующей строчке, не задумываясь, как именно это считать.
Но эффект есть, согласись. Видишь на экзамене/олимпиаде в задачке "лишние" данные - тут же задумываешься "зачем они мне это дали?" В нормальной жизни этот вопрос не задаётся.

[anjey.livejournal.com]

Правильно. Я уже, по жизни, ушел от этого, когда есть только решаемые задачи с выверенными начальными условиями :-). Бывают перекосы в обе стороны (и задача нерешаемые с перебором условий и решаемые с недостаточными условиями - тогда просто придумываешь новые:-).

[green-fr.livejournal.com]

По этому поводу, кстати, меня раздражают некоторые статьи в википедии, где ссылки проставлены едва не под каждым словом. Ссылка в интернете - что данные в задачке. Мозг тут же делает паузу и пытается понять, зачем тут вставили ссылку (http://ru.wikipedia.org/wiki/Ссылка). А она, оказывается, просто так ведёт на словарное определение знакомого всем слова (http://ru.wikipedia.org/wiki/Жопа).

[anjey.livejournal.com]

Да, в википедии грешат они бывают. Или Носик любит ссылки тупые расставлять (http://dolboeb.livejournal.com/1229330.html) чтобы показать, что знает html.

[green-fr.livejournal.com]

Там просто есть "проект связность", который изначально, конечно же, доброе дело, но люди иногда понимают его цели своеобразно :-/ И статистики нет (дорого), чтобы можно было показать, какие ссылки хоть кому-то хоть раз понадобились, а какие - мусор.

[gianthare.livejournal.com]

А можно описание этих картинок на на SVG для примера, а то как-то я не проникся - задавать все при помощи координат как-то некузяво.

[green-fr.livejournal.com]

Я - фанат, я как раз люблю просчитывать координаты и набивать их ручками :-) На таких мелких картинках это несложно, по первости даже интересно.
Вроде как есть какие-то редакторы, я даже что-то скачал, но пока он ставился, я картинки уже сделал.