Задачки из австрийского лагеря

[green_fr]

Вернулись из mathcamp_at. Про сам лагерь ещё напишу с картинками, а сейчас — несколько интересных задачек, озвученных не на занятиях.

1. Задача от Саши: на сфере случайным образом фиксируем 4 точки. Посчитать вероятность, что в пирамиду, определённую этими четырьмя точками, попадёт центр сферы.
Мы какое-то время спорили об определении случайного распределения точек, сошлись на равномерном по площади (то есть, вероятность попасть в некую зону прямо пропорциональна площади этой зоны). У нас есть строгое доказательство для круга (три точки, центр круга попадает внутрь треугольника с вероятностью 1/4 — интегрируем вероятность, получаем), а также менее строгое, но дающее тот же результат (считаем «средний сценарий» и говорим, что среднее значение совпадает со значением среднего сценария). Вот это менее строгое решение легко обобщается на сферу, и даже даёт правильный результат (мы его знаем, должно получиться 1/8), но лично мне он крайне не нравится — использование значения среднего сценария вместо среднего значения регулярно приводит к откровенной лаже (из актуального: при пенсионном возрасте в 65 лет и средней продолжительности жизни в 67 лет, россияне в среднем живут 2 года на пенсии — очевидно, что это не так).

Кстати: устно говорят «должна получиться 1/8», но на письме это выглядит ужасно, писать хочется «должно получиться 1/8». Русский язык — прелесть!

2. Задачка от Самуила: на столе лежат карточки с математическими знаками, формирующими строчку «101-102=1». Как переложить одну карточку, чтобы равенство стало верным? Именно одну. Поменять две карточки местами — это две карточки.
Эту задачку я решил, но какое-то время она у меня заняла.

3. Задачка от Тани: внутри треугольника ABC выбрана точка C’. Доказать, что периметр треугольника ABC больше периметра треугольника ABC’.
Формулировка настолько очевидная, что все бросались доказывать устно, затем брали бумажку, затем на какое-то время замолкали. У меня есть откровенно дурацкое «физическое» решение (натяжение резинки ABC будет больше, чем натяжение резинки ABC’) и куча идей для решения на несколько страниц. А хотелось бы красивого решения на школьном уровне.

Comments

[(Anonymous)]

У третьей задачи есть простое объяснение. Если у нас есть выпуклый бумажный многоугольник, то разрезав его на две части по прямой линии получим два многоугольника меньшего периметра: часть ломаной схлопнется в отрезок. Понятно, что последовательностью таких разрезов можно получить любой выпуклый многоугольник, содержащийся в данном, и периметр каждый раз уменьшается.

[xxxxx.livejournal.com]

Ну продли одну сторону, примени неравенство треуголиника 2 раза, делов-то

[grave--digger.livejournal.com]

3. Через площадь треугольника? У треугольника с большим периметром большая площадь.

[green-fr.livejournal.com]

Точно, конечно же :-) Спасибо!

[green-fr.livejournal.com]

Это неверно :-) Существуют треугольники, в пределе имеющие нулевую площадь со сколько угодно большим периметром.

[green-fr.livejournal.com]

Да, это то же самое, что предложили чуть выше - действительно, есть простое "школьное" доказательство, я как-то сконцентрировался не на том :-)

[(Anonymous)]

Если мы раз и навсегда фиксируем одну точку, скажем, в южном полюсе, то ничего не изменится: любую конфигурацию из 4-ч точек можно движением сделать такой. Рассмотрим оставшиеся три точки и их антиподы. Если разрешено выбрать либо точку, либо её антипод, то всего есть 2^3=8 способов выбрать треугольник из этих шести точек. Если добавить к каждому из этих треугольников южный полюс, получим 8 тетраэдров, которые в совокупности покрывают центрально-симметричный октаэдр, вписанный в сферу, значит содержат центр сферы. С другой стороны, кроме случаев меры нуль, ровно один из этих тетраэдров содержит центр сферы. Получается, что мы разбили S^2 x S^2 x S^2 на кусок меры нуль и 8 кусков, которые переводятся друг в друга какими-то антиподальными отображениями на трёх сферах. Если эти куски измеримы, то задача решена, но то что они измеримы почти очевидно.

[grave--digger.livejournal.com]

Мы всё ещё об Евклидовой геометрии? :) Ты ж хотел на школьном уровне.

[leokand.livejournal.com]

101/102=1

Если допустить небольшое округление ;)

[aaalex.livejournal.com]

Мы сравниваем треугольники с общей AB.
Множество C для треугольников с заданным периметром - эллипс с фокусами AB.
C' принадлежит конфокальному эллипсу внутри исходного. Значит имеет меньший периметр.

[xxxxx.livejournal.com]

эка, там обобщение аж запостили! Ну тем более.

[bgmt.livejournal.com]

Мне кажется, что задача со сферой довольно проста.

Условие означает, что какую бы из четырёх точек ни взять, три остальные находятся на поверхности полусферы с первой точкой в качестве полюса.

Берём точку 1. Вероятность того, что точка 2 находится на полусфере in question, 1/2.

Добавляем точку 3. Достаточно потребовать, чтобы она была на той же полусфере, тогда расстояние между 2 и 3 тоже будет меньше pi R. Т.е. добавляется множитель 1/2.

Добавляем точку 4. То же самое. Добавляется множитель 1/2.
ПОлучаем 1/8.

[green-fr.livejournal.com]

Конечно, простая школьная геометрия. Просто представь себе очень длинный и очень узкий треугольник.

[green-fr.livejournal.com]

У нас была такая версия, но мы запнулись на доказательстве того, что только один тетраэдр содержит центр. Откуда это следует? Опять же, на круге это показывается (бросаем на круг 3 диаметра, если взать все точки через одну - таких наборов получается два, - то треугольник вулючает в себя центр, откуда и получается вероятность в 1/4), но на сфере мы доказать не смогли.

[green-fr.livejournal.com]

А ты кто? Не хочешь сделать lj account, чтобы комментарии на почту приходили?

[grave--digger.livejournal.com]

Но у него ненулевая площадь, если только это не вырожденный треугольник.

[green-fr.livejournal.com]

Там есть точное решение :-)

[green-fr.livejournal.com]

Красиво :-) Но явно вне школьного уровня (у нас там были дети лет эдак до 13-14 максимум).

[green-fr.livejournal.com]

Если я правильно понял, то у тебя решением является любая четвёрка точек, одна из которых - северный полюс, а три оставшиеся - на южном полушарии, так? Очевидно, что это неправда - предположим, что три оставшиеся точки находятся очень близко друг к другу, рядом с экватором, в этом случае центр сферы очевидно не попадает в пирамиду.

[green-fr.livejournal.com]

Это я тебе сказал "в пределе," как человеку, изучавшему высшую математику в институте :-) Но даже без этого - разве не очевидно, что можно построить треугольник с меньшим периметром и большей площадью, чем этот?

На всякий случай, более строгий контрпример:
(0, 0) - (0, 1) - (100, 0). Периметр чуть больше 200, площадь 50.
(0, 0) - (0, 20) - (20, 0). Периметр меньше 57, площадь 200.

[grave--digger.livejournal.com]

Всё, мой косяк - я формулу вычисления площади треугольника по полупериметру неправильно вспомнил. :) Беда!
Ну ничего, через несколько лет - я ещё и не то вспомню. ;)

[dodderbranch.livejournal.com]

Это утверждение вроде бы достаточно просто доказывается. Когда мы смотрим на выпуклый октаэдр из южного полюса S (а значит снаружи), луч проходящий через центр сферы O (в случае ненулевой меры) пересекает поверхность октаэдра в двух точках, каждая из которых лежит в своём треугольнике, но не на границе треугольника.

Тетраэдр, построенный на любом другом треугольнике не годится: если бы он содержал O, он содержал бы точку T, по которой прямая SO пересекает границу тетраэдра. И понятно, что T обязана лежать на грани, противолежащей S.

Из двух оставшихся претендентов не подходит тот, кто содержит ближайшую к S на SO точку (пусть это точка P). Так как O лежит внутри октаэдра, SP не содержит O.

[dodderbranch.livejournal.com]

Я увидел пост случайно в ленте у аввы, и решил сказать несколько слов. жж завёл только чтобы не создавать проблем с раскрытием комментариев etc.

[elmak.livejournal.com]

Знак равенства - две карточки или одна?

[bgmt.livejournal.com]

Ты не понял меня, а я перепутал условие. Я сосчитал вероятность того, что центр сферы НЕ попадает внутрь пирамиды. Удивительным образом, у меня получилась 1/8, что вроде как означает, что попадает - с вероятностью 7/8. Это мы проверим ещё, а что до понимания моего решения не той задачи, то нет: четвёрка точек, любая из которых - полюс, а три оставшихся находятся в том же полушарии, в котором первая точка полюс. С дополнительным утверждением, что совершенно безразлично, которую взять за полюс.

[anjey.livejournal.com]

2) (Подсмотрев ответ): Бу-га-га.

[green-fr.livejournal.com]

Одна, но ход твоих мыслей мне нравится :-)

[mbla.livejournal.com]

Вторая задача - для информатиков. У меня тоже ушло некоторое время. То есть я покрутила в голове минут 10 и плавать пошла, и наплыву решила :-))))

[anjey.livejournal.com]

График (в смысле не математический, а профессия) не решит никогда.

[p-a-s-h-a.livejournal.com]

Эх, жалко, что карточки лежат, а не спички! А то для спичек сразу
101 = 102 - 1
:^)

[rechicer.livejournal.com]

В задаче 2 перекладываем равенство на одну позицию левее, получаем 101-10=21. Верное равенство в троичной системе счисления.

[wildest-honey.livejournal.com]

Вторая - двойку сдвинуть?

[samcherv.livejournal.com]

Саша, поскольку ты любишь строгость и краткость :) :
существует лемма "Выпуклая ломаная короче всякой другой ломаной, объемлющей первую", поэтому AC'+C'B < AC+CB.
Объяснение в этом комментарии по сути есть ее доказательство; см., например, здесь:

https://books.google.de/books?id=FtlmDwAAQBAJ&pg=PA179&lpg=PA179&dq=%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8E%D1%89%D0%B0%D1%8F+%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%8F&source=bl&ots=peUYd6s3Wr&sig=si2j4Z7-kfIaGgFMwB0fjBIFKpg&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjEpvfnnO3cAhUE3qQKHYe7AaUQ6AEwB3oECAgQAQ#v=onepage&q=%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8E%D1%89%D0%B0%D1%8F%20%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%8F&f=false

[green-fr.livejournal.com]

А я о ней (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%93%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0) даже не слышал, болел в школе, наверное. Спасибо :-)

[green-fr.livejournal.com]

Мне всё равно приятно послушать умного человека ;-)

[green-fr.livejournal.com]

Эту задачу samcherv вспомнил после слов "неожиданный выход в дополнительное пространство". Мы за столом сначала вспомнили детскую задачку "сложить из 6 спичек 4 равносторонних треугольника" (все дружно вспомнили про звезду Давида, но изначально имелся в виду правильный тетраэдр), а потом он тут же нарисовал вот это.

[green-fr.livejournal.com]

Зато графики уверенно крутили (в голове) карточки, пытаясь сделать 5 из 2, деление из минуса и т.п.

[green-fr.livejournal.com]

Ты монстр! Причём водоплавающий :-Р

[green-fr.livejournal.com]

Это да, но можно и с карточками :-)

[green-fr.livejournal.com]

Кстати да, мы какое-то время думали над сменой базы, но до этого решения не дошли, нас Самуил раньше оборвал уточнением, что можно оставаться в 10-ричной системе.

[green-fr.livejournal.com]

Ага :-) Согласись, красота? И согласись - гроб?

[wildest-honey.livejournal.com]

Да, красиво.
Племянник не догадался:)

[green-fr.livejournal.com]

Несколько раз перечитал, всё равно не понял. Общий подход понятен, но подробности, мне кажется, без картинки не объяснить...

[dodderbranch.livejournal.com]

Пусть у нас есть выпуклый многогранник P, точка O внутри него (не на границе) и точка S вне. Построим набор пирамид так: к каждой грани P добавим S (для строгости можно определить пирамиду как выпуклую оболочку грани и S). Докажем, что O не может принадлежит двум или более внутренностям построенных пирамид.

Если мы поместим источник света в S, то часть граней осветятся, часть граней останутся тёмными. Пирамиды построенные на освещённых гранях не содержат O, так как лежат вне P. Если внутренности двух тёмных пирамид содержат O, то SO пересечёт их тёмные грани. Значит SO пересечёт поверхность P по крайней мере в трёх точках (мы обязательно пересечём и освещённую часть), но прямая пересекает границу выпуклого многогранника либо по двум точкам, либо по точке, либо по отрезку. Последние два случая у нас невозможны, так как O принадлежит внутренности P.

[green-fr.livejournal.com]

Я вот, кстати, задумылся - а как ты нашёл ответ? Какие ключевые слова были в поиске?

[green-fr.livejournal.com]

Гениальное объяснение с лучом света! Спасибо :-)

[grave--digger.livejournal.com]

Что-нибудь типа "101-102 equals 1 answer".

[anjey.livejournal.com]

Нет, я гораздо ленивее.
http://bfy.tw/JRLi

[xxxxx.livejournal.com]

у меня на стенке в школе висела, она и "объём шара есть две трети объёма описанного цилиндра"
Ещё какие-то были, но больше ничего не помню из школы, первая формула хороша своей бесполезностью, а вторая полезна чтоб вспомнить объём шара.