Занимательная математика

[green_fr]

Купили очередную игрушку с кубиками, начал считать вероятности, просто как-то не получается.
Кидаем один кубик - всё просто, вероятность у каждой грани 1/6.
Кидаем два кубика - тоже просто, вероятность выкинуть в сумме число n равна (n-1)/36 для n<=7 и (13-n)/36 для n>=7. Т.е. такая крышка треугольная.
А в этой игрушке нужно кидать пару кубиков до тех пор, пока не выпадет 4 разные значения. Т.е. если выпадает уже выпавшая в этом туре сумма, мы перебрасываем кубики.
Задача: пересчитать вероятности всех возможных сумм от 2 до 12.
Провёл час с ручкой и бумажкой - быстро и красиво не получается. Сел написал на VBA метод Monte-Carlo - цифры вылезли, но удовлетворения не принесли. Особенно, если учесть грядущую смену работы именно что с программиста на статистика...

Comments

[akteon.livejournal.com]

На VBA-то зачем? Есть прилады к Йокселю, вроде Crystal Ball или @Risk, которые это делают в лучшем виде.

[mihhon.livejournal.com]

:)
1) 1 кубик - равномерно распределённая случайная величина => p(x), x=1..6
2) 2 кубика - функция 2-х независимых случайных величин => p(z)=p(x+y), z=2..12
3)
Задача: пересчитать вероятности всех возможных сумм от 2 до 12. - сумм чего? не понял, что это за сумма

но навскидку это похоже на задачу о сумме случайного независимых случайных чисел, одинаково распределённых (сумма случайного числа z)

[mihhon.livejournal.com]

сумме случайного числа одинаково распределённых случайных величин, так лучше читается :)

[green-fr.livejournal.com]

Я их не знаю, сейчас поищу в сети... Где их можно посмотреть?

[green-fr.livejournal.com]

См. третью строчку - сумма чисел, выпавших на двух брошенных кубиках. Т.е., например, выпало 3 и 5, сумма - 8.

[mihhon.livejournal.com]

нужно кидать пару кубиков до тех пор, пока не выпадет 4 разные значения => минимум этой суммы равен 2 + 3 + 4 + 5 = 14 => вероятность того, что сумма от 2 до 12 = 0 :)

что-то не так в постановке задачи или я совсем тупой?

[green-fr.livejournal.com]

Я тупой :-)
Имеется в виду, что мы выбросили не сумму 8 кубиков, а 4 суммы пары кубиков. Т.е. в твоём примере сумма не 14, а их 4: 2, 3, 4 и 5. Т.е. они идут четвёрками, но интересно оценить вероятность каждой из них.

[mihhon.livejournal.com]

короче я ничего не понял :) нужен нормальный пример

[bgmt.livejournal.com]

бегемот тоже ничего не понял. Все формулировки у тебя разные. Расскажи нормально постановку задачи. Что такое 4 суммы пары кубиков, ещё загадочнее, чем было до того.

[green-fr.livejournal.com]

1. Ты кинул два кубика. Выпало (в сумме) 8.
2. Ты опять кинул два кубика. Если сумма та же, что в первый раз, перекидываешь, пока не выпадет что-то иное, скажем 4.
3. Повторяешь процедуру до тех пор, пока не наберёшь 4 отличных друг от друга числа (8, 4 из моего примера и, скажем, 2 и 7).
4. Полученное в первых трёх пунктах я и называю "четырьмя суммами пар кубиков", это составляет единичный эксперимент. Соответственно, вопрос в вероятности выпадения каждого из чисел от 2 до 12 в таком эксперименте.

[green-fr.livejournal.com]

См. ниже (http://green-fr.livejournal.com/76467.html?thread=1028531#t1028531), я бегемоту попытался переформулировать.
Т.е. в игрушке нужен генератор чисел от 2 до 12, для этого кидаем два кубика и складываем получившиеся числа. Фишка в том, что результаты нам нужны группами по 4 отличных элемента, т.е. если на каком-то этапе у нас выпадает та же сумма, что мы уже видели, мы перекидываем пару кубиков.

[birdwatcher.livejournal.com]

Талеб в этой книге пишет, что только Монте-Карло всегда и пользуется. А раз так, кто я такой, чтобы рыпаться?

[mihhon.livejournal.com]

по идее по теореме Бернулли это будет такое же распределение, что и распределение суммы 2-х кубиков :)

[kalvado.livejournal.com]

казалось бы всего 11*10*9*8<10е4 комбинаций
функция probability_pair(x), x=2..12
brute force должен получиться по идее

[kalvado.livejournal.com]

собственно вот вам весь расклад
мене часа с отладкой =)
14 0.001000
15 0.001000
16 0.002000
17 0.004000
18 0.010000
19 0.012000
20 0.021000
21 0.027000
22 0.042000
23 0.046000
24 0.061000
25 0.066000
26 0.085000
27 0.079000
28 0.084000
29 0.079000
30 0.085000
31 0.066000
32 0.061000
33 0.046000
34 0.042000
35 0.027000
36 0.021000
37 0.012000
38 0.010000
39 0.004000
40 0.002000
41 0.001000
42 0.001000

[kalvado.livejournal.com]

ops, sorry znachashie cifry poteryalis'
esli nado dam file

[mihhon.livejournal.com]

дискретная случайная величина X, принимающая значения х1..хn с вероятностью р1..pn. { 2..12 с вероятностью (n-1)/36 для n<=7 и (13-n)/36 для n>=7 }

пронумеруем неким образом х1..хn, проведём независимые испытания
1) вероятноять выпадения х1 равна р1
2) вероятноять выпадения х2 равна р2 (если выпадает х1 - игнорируем)
3) вероятноять выпадения х3 равна р3 (если выпадает х1 или х2 - игнорируем)
4) вероятноять выпадения х4 равна р4 (если выпадает х1, х2 или х3 - игнорируем)
...
m) ...

так как пронумеровали произвольно, то это справедливо для любых значений случайной величины => итоговая случайная величина (вероятность появления х1..хn до первых m различных) распределена так же , как и X

[mihhon.livejournal.com]

14..42 - это что такое ?
случайная величина принимает значение от 2 до 12 :)

[kalvado.livejournal.com]

4 raza prinimaet, v summe ot 8 do 48
uslovie nepovtorenia - 14:42

[kalvado.livejournal.com]

ops, usloviya perechital.. mne kazalos' summa 4 popytok
ideya-to prostaya - brute force delaetsya dostatochno bystro..

[mihhon.livejournal.com]

ок, а теперь из этого надо получить 2..12 по условию задачи :)

[kalvado.livejournal.com]

0.00963
0.03474
0.07073
0.11426
0.16298
0.21532
0.16298
0.11426
0.07073
0.03474
0.00963

[mihhon.livejournal.com]

хмм, у меня по-другому получается
x=7 , p=1/6=0.1666, а не 0.21532

http://green-fr.livejournal.com/76467.html?thread=1030323#t1030323

[kalvado.livejournal.com]

2 varianta, a i b, veroyatnosti 1/3 i 2/3
v 2 popytkah:
aa -ignore 1/9
ab - 2/9
ba- 2/9
bb - ignore 4/9
itogo a - polovina, b - polovina

[mihhon.livejournal.com]

1) неправильная схема испытаний
аа - на этом испытание не заканчивается, событие ещё не наступило (событие наступает тогда, когда будет получено b )

полная группа событий должна выглядеть так:

аааa...b
aaab
aab
ab
ba
bba
bbba
bbbb...a

2) это вырожденный случай - и a и b появляются с вероятностью 1 :) выбираем 2 числа из 2-х => оба с вероятностью 1 в выборке