![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Геометрия на пальцах
Я тут придумал гениальное доказательство старой «школьной» теоремы о точке пересечения медиан треугольника.
Возьмём сначала равносторонний треугольник R, докажем (тривиально), что медианы пересекаются в одной точке, что эта точка находится на расстоянии 1:2 на каждой медиане. А затем сделаем этот треугольник из палочек. И говорим волшебную фразу: для каждого треугольника T можно найти такую точку зрения, из которой наш треугольник R будет выглядеть, как T. Ну или проекция треугольника R на некую плоскость будет T. Очевидно, что проекции медиан остаются медианами проекции. Очевидно также, что единая точка пересечения при проекции остаётся единой точкой. ЧиТД.
А потом меня заглючило — попробуем сделать то же самое с теоремой о точке пересечения биссектрис. Рассуждения те же самые, и вроде как проекция биссектрисы — это биссектриса проекции. Но, очевидно, получается ерунда. В частности, мы таким же образом «доказали» неверный факт, что точка пересечения биссектрис делит их в той же постоянной пропорции 1:2, что и в R.
И я как-то не могу увидеть, где ошибка:
1. Вся эта затея с проекциями — ерунда. Не всякий T можно представить как проекцию R.
2. Проекция биссектрисы — не биссектриса проекции (с высотами, например, это именно так, но с биссектрисами — я не могу понять, почему здесь могла бы быть ошибка).
Сидеть и аккуратно выводить стереометрию откровенно лень, хочется красивого и понятного объяснения :-)
Возьмём сначала равносторонний треугольник R, докажем (тривиально), что медианы пересекаются в одной точке, что эта точка находится на расстоянии 1:2 на каждой медиане. А затем сделаем этот треугольник из палочек. И говорим волшебную фразу: для каждого треугольника T можно найти такую точку зрения, из которой наш треугольник R будет выглядеть, как T. Ну или проекция треугольника R на некую плоскость будет T. Очевидно, что проекции медиан остаются медианами проекции. Очевидно также, что единая точка пересечения при проекции остаётся единой точкой. ЧиТД.
А потом меня заглючило — попробуем сделать то же самое с теоремой о точке пересечения биссектрис. Рассуждения те же самые, и вроде как проекция биссектрисы — это биссектриса проекции. Но, очевидно, получается ерунда. В частности, мы таким же образом «доказали» неверный факт, что точка пересечения биссектрис делит их в той же постоянной пропорции 1:2, что и в R.
И я как-то не могу увидеть, где ошибка:
1. Вся эта затея с проекциями — ерунда. Не всякий T можно представить как проекцию R.
2. Проекция биссектрисы — не биссектриса проекции (с высотами, например, это именно так, но с биссектрисами — я не могу понять, почему здесь могла бы быть ошибка).
Сидеть и аккуратно выводить стереометрию откровенно лень, хочется красивого и понятного объяснения :-)
no subject
Когда я учился в школе, я сам его придумал: у меня были не проекции, а сжатия/растяжения. Я представлял себе, что вместо плоскости у меня лист резины, который может равномерно растягиваться в любом направлении так, что у нас сохраняются соотношения длин (кажется, это называется "линейное преобразование"). Легко доказать, что для каждых двух треугольников существует такая последовательность преобразований,что один превращается в другой.
Дальше в самом деле очевидно, что если медианы пересикаются в одной точке в одном треугольнике - то пересекаются во всех (потому что медианы сохраняются). Углы при растяжении/сжатии деформируются и биссектрисы (и высоты) не сохраняются.
Я целое лето все это писал в тетрадку, принес учительнице и она порадовала меня страничкой из учебника по аналитической геометрии, где было сказано про аффинные преобразования. Так выяснилось, что я не совершил открытия
(понятно, что проекции - это тоже аффинные преобразования)
Но методика при этом была полезная. Когда я сдавал вступительный экзамен, там была задача по стереометрии - а на химфаке задач по стереометрии не было лет десять, поэтому никто к ней не был готов, кроме меня, потому что это была стандартная физтеховская задача про то, как какую-то фигуру рассекают какие-то плоскости и надо было определить соотношение объемов
Хитрость была в том, что рассекали призму. И нигде не было сказано, что это - прямоугольная призма, но и про угол ничего не было сказано. Все решили, что раз угол не дан, то значит это пи пополам и так и решали. А я посмотрел на условия и понял, что угол вообще не важен - там все строиться на соотношении длин, то есть при любой сжатии и растяжении (пространственном) ответ не измениться. Обозвал угол альфа и терпеливо ждал, пока все сократиться. Все сократилось, разумеется.
При этом я от волнения в соседней задаче допустил ошибку на переходе от cosx=1 к значению х. Я написал пи пополам плюс два пи эн, перепутав косинус с синусом.
Дома сообразил и покрылся холодным потом. Но, видимо, стереометрию корректно решил я один (и, может, еще один парень, лауреат всесоюзной олимпиады по математике - если он не поступал без экзаменов, конечно), поэтому я все равно получил одну из пяти пятерок.
no subject
А я когда был школьником, написал в журнал "Квант" письмо с выигрышной стратегией в рулетку. Как я сейчас понимаю, классика: каждый раз повышаем ставки вдвое, рано или поздно выиграем - покроем все былые проигрыши + первоначальная ставка в виде выигрыша. Вне зависимости от вероятности выпадания выигрыша, лишь бы он приносил вдвое больше поставленной суммы. Я уже тогда понимал, что это должна быть какая-то лажа, но не мог понять, где. К сожалению, из журнала ответили не меньшей пургой ("именно поэтому ставки в казино ограничены!"), правильный ответ ("просто ограничены средства у игрока") я понял гораздо позже. А ответ на их ответ (ставки ограничивают, чтобы понизить волятильность результата казино) я узнал уже совсем недавно.