![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Entry tags:
Задача на комбинаторику
У Анюты на экзамене была задача. Есть колода 52 карты. Мы тянем карты одну за другой (без возврата карт в колоду) до тех пор, пока не попадём на туза. Наша случайная переменная — порядковый номер первого туза в колоде. Какое мат. ожидание у этой переменной?
Интуитивно задача решается достаточно просто. Если у нас в колоде один туз, он в среднем как бы делит колоду на две части, правильный ответ n/2, где n — количество карт в колоде. Если у нас 2 туза, то они делят колоду на 3 части, ответ n/3. И так далее, значит правильный ответ с 4 тузами 52/5=10,4.
В принципе, это даже можно вывести формулами, через приближение суммы интегралом. По крайней мере на двух тузах это делается: каждая раздача с двумя тузами соответствует клеточке (X, Y), где X — положение первого туза, Y — положение второго. Все раздачи равновероятны, но нас интересует положение первого туза. Переформулируем: нас интересует среднее X, но только такое, где X < Y — то есть, интеграл не по квадрату, а по треугольнику. Когда мы интегрируем, у нас получается x^2dx, в процессе интегрирования которого вылезает та самая 1/3, которая в правильном ответе. Можно, наверное, довести до ума эту формулу и с 4 тузами. Но, во-первых, это явно не то решение, на которое рассчитывает лектор. И по-любому, это же приближение: у нас изначально была сумма, а не интеграл. Как решать эту задачу «честно»?
Мат. ожидание дискретной переменной — это сумма по всем значениям k*P(x=k). Я даже могу выписать P(x=k), но там получается достаточно уродская дробь с 4 факториалами, и я не вижу, как можно упростить / посчитать эту сумму.
Спросил, понятное дело, у ChatGPT. Сначала по-русски. Тот начал с геометрического распределения, ответ 13. Нет, говорю, это если мы каждую карту на место кладём и снова перемешиваем. А, говорит, точно! Значит ответ 53/5=10,6. В принципе, совместимо с тем, что я написал — действительно, в случае с одним тузом у нас не n/2, а (n+1)/2. Но как он это посчитал? Он ссылается на формулу как на «известный факт». Просишь вывести «известный факт» — он его выводит, заменяя самую интересную часть на «можно показать (по свойствам порядковых статистик)». Просишь разжевать это — пишет примерно то же самое, но с «после некоторых алгебраических преобразований». И только после того, как просишь его и это разжевать — что-то пишет, из чего можно восстановить доказательство. Долгое и нудное, но правильное. В частности подсмотрел у ChatGT другую формулу для мат. ожидания: сумма P(x>=k). Работает только, когда возможные значения — последовательные целые числа, но у нас именно этот случай, и в этой форме результат записывается проще.
Спросил то же самое по-французски. ChatGPT сразу написал какую-то галиматью с выводом кучи совершенно ненужных вещей, а последней фразой сказал, что нужно разделить всё на количество тузов, и вместо того, чтобы разделить свою галиматью на 4, разделил непонятно откуда взявшееся 53 на 5, чтобы получить правильный ответ. В этот момент я попытался представить работу современного преподавателя, которому нужно вот это проверять :-)
Спросил по-английски, ChatGPT сразу же выдал мне ответ 13, потому что ну это же геометрическое распределение! На этом моя квота на приличную модель закончилась, я не стал приставать к более простой.
Собственно, вопрос: а как это решать в условиях экзамена? Предположим, мы не помним правильного ответа, и наша интуиция временно отошла, надо именно вывести формулу. Это реально сделать за несколько минут? Экзамен на 2 часа, в нём 30 вопросов.
Интуитивно задача решается достаточно просто. Если у нас в колоде один туз, он в среднем как бы делит колоду на две части, правильный ответ n/2, где n — количество карт в колоде. Если у нас 2 туза, то они делят колоду на 3 части, ответ n/3. И так далее, значит правильный ответ с 4 тузами 52/5=10,4.
В принципе, это даже можно вывести формулами, через приближение суммы интегралом. По крайней мере на двух тузах это делается: каждая раздача с двумя тузами соответствует клеточке (X, Y), где X — положение первого туза, Y — положение второго. Все раздачи равновероятны, но нас интересует положение первого туза. Переформулируем: нас интересует среднее X, но только такое, где X < Y — то есть, интеграл не по квадрату, а по треугольнику. Когда мы интегрируем, у нас получается x^2dx, в процессе интегрирования которого вылезает та самая 1/3, которая в правильном ответе. Можно, наверное, довести до ума эту формулу и с 4 тузами. Но, во-первых, это явно не то решение, на которое рассчитывает лектор. И по-любому, это же приближение: у нас изначально была сумма, а не интеграл. Как решать эту задачу «честно»?
Мат. ожидание дискретной переменной — это сумма по всем значениям k*P(x=k). Я даже могу выписать P(x=k), но там получается достаточно уродская дробь с 4 факториалами, и я не вижу, как можно упростить / посчитать эту сумму.
Спросил, понятное дело, у ChatGPT. Сначала по-русски. Тот начал с геометрического распределения, ответ 13. Нет, говорю, это если мы каждую карту на место кладём и снова перемешиваем. А, говорит, точно! Значит ответ 53/5=10,6. В принципе, совместимо с тем, что я написал — действительно, в случае с одним тузом у нас не n/2, а (n+1)/2. Но как он это посчитал? Он ссылается на формулу как на «известный факт». Просишь вывести «известный факт» — он его выводит, заменяя самую интересную часть на «можно показать (по свойствам порядковых статистик)». Просишь разжевать это — пишет примерно то же самое, но с «после некоторых алгебраических преобразований». И только после того, как просишь его и это разжевать — что-то пишет, из чего можно восстановить доказательство. Долгое и нудное, но правильное. В частности подсмотрел у ChatGT другую формулу для мат. ожидания: сумма P(x>=k). Работает только, когда возможные значения — последовательные целые числа, но у нас именно этот случай, и в этой форме результат записывается проще.
Спросил то же самое по-французски. ChatGPT сразу написал какую-то галиматью с выводом кучи совершенно ненужных вещей, а последней фразой сказал, что нужно разделить всё на количество тузов, и вместо того, чтобы разделить свою галиматью на 4, разделил непонятно откуда взявшееся 53 на 5, чтобы получить правильный ответ. В этот момент я попытался представить работу современного преподавателя, которому нужно вот это проверять :-)
Спросил по-английски, ChatGPT сразу же выдал мне ответ 13, потому что ну это же геометрическое распределение! На этом моя квота на приличную модель закончилась, я не стал приставать к более простой.
Собственно, вопрос: а как это решать в условиях экзамена? Предположим, мы не помним правильного ответа, и наша интуиция временно отошла, надо именно вывести формулу. Это реально сделать за несколько минут? Экзамен на 2 часа, в нём 30 вопросов.