на Луне сила притяжения Земли примерно в два раза слабее, чем сила притяжения Солнца

Не поверил, посчитал: да, правда.

Но к задаче трёх тел это не имеет прямого отношения - если сила притяжения Солнца на обоих сторонах орбиты Луны вокруг Земли почти одинаковая, это как в задачах на явления "в падающем лифте".

Тут, скорее, дело в том, что Солнце находится довольно близко, и градиент его гравитационного поля достаточно большой. Ну, для того, чтобы попасть в нужную точку Луны космическим кораблём, наверное, большой, а для школьных задач, пожалуй, нет.