Этот способ доказательства - проводимый по науке - называется "использование аффинных преобразований" (может,там одна "ф", не помню) Когда я учился в школе, я сам его придумал: у меня были не проекции, а сжатия/растяжения. Я представлял себе, что вместо плоскости у меня лист резины, который может равномерно растягиваться в любом направлении так, что у нас сохраняются соотношения длин (кажется, это называется "линейное преобразование"). Легко доказать, что для каждых двух треугольников существует такая последовательность преобразований,что один превращается в другой. Дальше в самом деле очевидно, что если медианы пересикаются в одной точке в одном треугольнике - то пересекаются во всех (потому что медианы сохраняются). Углы при растяжении/сжатии деформируются и биссектрисы (и высоты) не сохраняются. Я целое лето все это писал в тетрадку, принес учительнице и она порадовала меня страничкой из учебника по аналитической геометрии, где было сказано про аффинные преобразования. Так выяснилось, что я не совершил открытия (понятно, что проекции - это тоже аффинные преобразования)
Но методика при этом была полезная. Когда я сдавал вступительный экзамен, там была задача по стереометрии - а на химфаке задач по стереометрии не было лет десять, поэтому никто к ней не был готов, кроме меня, потому что это была стандартная физтеховская задача про то, как какую-то фигуру рассекают какие-то плоскости и надо было определить соотношение объемов Хитрость была в том, что рассекали призму. И нигде не было сказано, что это - прямоугольная призма, но и про угол ничего не было сказано. Все решили, что раз угол не дан, то значит это пи пополам и так и решали. А я посмотрел на условия и понял, что угол вообще не важен - там все строиться на соотношении длин, то есть при любой сжатии и растяжении (пространственном) ответ не измениться. Обозвал угол альфа и терпеливо ждал, пока все сократиться. Все сократилось, разумеется. При этом я от волнения в соседней задаче допустил ошибку на переходе от cosx=1 к значению х. Я написал пи пополам плюс два пи эн, перепутав косинус с синусом. Дома сообразил и покрылся холодным потом. Но, видимо, стереометрию корректно решил я один (и, может, еще один парень, лауреат всесоюзной олимпиады по математике - если он не поступал без экзаменов, конечно), поэтому я все равно получил одну из пяти пятерок.
no subject
Когда я учился в школе, я сам его придумал: у меня были не проекции, а сжатия/растяжения. Я представлял себе, что вместо плоскости у меня лист резины, который может равномерно растягиваться в любом направлении так, что у нас сохраняются соотношения длин (кажется, это называется "линейное преобразование"). Легко доказать, что для каждых двух треугольников существует такая последовательность преобразований,что один превращается в другой.
Дальше в самом деле очевидно, что если медианы пересикаются в одной точке в одном треугольнике - то пересекаются во всех (потому что медианы сохраняются). Углы при растяжении/сжатии деформируются и биссектрисы (и высоты) не сохраняются.
Я целое лето все это писал в тетрадку, принес учительнице и она порадовала меня страничкой из учебника по аналитической геометрии, где было сказано про аффинные преобразования. Так выяснилось, что я не совершил открытия
(понятно, что проекции - это тоже аффинные преобразования)
Но методика при этом была полезная. Когда я сдавал вступительный экзамен, там была задача по стереометрии - а на химфаке задач по стереометрии не было лет десять, поэтому никто к ней не был готов, кроме меня, потому что это была стандартная физтеховская задача про то, как какую-то фигуру рассекают какие-то плоскости и надо было определить соотношение объемов
Хитрость была в том, что рассекали призму. И нигде не было сказано, что это - прямоугольная призма, но и про угол ничего не было сказано. Все решили, что раз угол не дан, то значит это пи пополам и так и решали. А я посмотрел на условия и понял, что угол вообще не важен - там все строиться на соотношении длин, то есть при любой сжатии и растяжении (пространственном) ответ не измениться. Обозвал угол альфа и терпеливо ждал, пока все сократиться. Все сократилось, разумеется.
При этом я от волнения в соседней задаче допустил ошибку на переходе от cosx=1 к значению х. Я написал пи пополам плюс два пи эн, перепутав косинус с синусом.
Дома сообразил и покрылся холодным потом. Но, видимо, стереометрию корректно решил я один (и, может, еще один парень, лауреат всесоюзной олимпиады по математике - если он не поступал без экзаменов, конечно), поэтому я все равно получил одну из пяти пятерок.